Question

a. Tabula y representa el lugar geométrico, dada la ecuación 3x-2y+6=0
b. Tabula y representa el lugar geométrico, dada la ecuación x2+y2= 36
c. Determina y grafica el lugar geométrico de los puntos P(x, y) cuya distancia al punto fijo C (-2,3) sea igual a 5.
d. Determina y grafica el lugar geométrico de los puntos equidistantes de A (2,-3) y B (-2,6)

Answer 1

Se entiende por Lugar Geométrico de un conjunto, a la ubicación en el plano o espacio cartesiano de los puntos que pertenecen a dicho conjunto, es decir cumplen las condiciones impuestas por dicho conjunto para sus elementos.

La representación de un conjunto es la gráfica de la curva o región que contiene a dichos puntos y la tabulación tiene que ver con la identificación de las propiedades que siguen los elementos del conjunto.

a) El lugar geométrico, en este caso de los puntos que cumplen la ecuación dada, es una recta, la cual tiene la ecuación:

$3x-2y+6=0$

Un punto de la recta es (-2,0), y su vector director es el normal a (3,-2):

$(3,-2).(d_x,d_y)=0\\3d_x-2d_y=0\\(d_x,d_y)=(2,3)$

Se puede decir que el lugar geométrico buscado es el de los vectores paralelos a (2,3) con origen en (-2,0). Su gráfica está adjunta en la imagen a.

b) En este caso tenemos que cuando hablamos de una ecuación de tipo:

$\frac{(x-x_0)^{2}}{a}+\frac{(y-y_0)^{2}}{b}=1$

Nos referimos a una elipse de ejes a y b y con centro en (x0, y0), si a=b se trata de una circunferencia centrada en (x0,y0), otra forma de escribir la ecuación de una circunferencia es:

$(x-x_0)^{2} +(y-y_0)^{2}=r^{2}$

Donde r es el radio.

De donde concluímos que el lugar geométrico buscado es una circunferencia de radio 6 centrada en el origen. Lo que es lo mismo que decir que se trata de los puntos del plano cuya distancia al origen es 6. La imagen b grafica la situación.

c) En este caso hablamos de los puntos que guarden una distancia de 5 con el punto (-2,3). La distancia de un punto A a otro punto C en el plano es:

$d_{AC}=\sqrt{(x_{A}-x_{C})^{2}+(y_{A}-y_{C})^{2}}$

Operamos y queda:

$d_{AC}^{2} =(x_A-x_C)^{2}+(y_A-y_C)^{2}$

Lo que es la ecuación de una circunferencia con centro en el punto C y radio igual a la distancia. Por lo que reemplazando, la ecuación que describe el lugar geométrico buscado queda:

$(x+2)^{2} +(y-3)^{2}=25$

Grafico en la imagen c.

d) En este caso hablamos de los puntos que son equidistantes con los puntos A y B, de modo que para todo punto C que pertenezca al conjunto bajo estudio tiene que ser:

$d_{AC}=d_{BC}\\\sqrt{(x_C-x_A)^{2}+(y_C-y_A)^{2} } =\sqrt{(x_C-x_B)^{2}+(y_C-y_B)^{2} }$

Elevo al cuadrado en ambos miembros:

$(x_C-x_A)^{2}+(y_C-y_A)^{2} =(x_C-x_B)^{2}+(y_C-y_B)^{2}$

Desarrollo los cuadrados:

$(x_C-x_A)^{2}+(y_C-y_A)^{2} =(x_C-x_B)^{2}+(y_C-y_B)^{2}\\x_C^{2}-2x_Ax_C+x_A^{2}+y_C^{2}-2y_Ay_C+y_A^{2}=x_C^{2}-2x_Bx_C+x_B^{2}+y_C^{2}-2y_By_C+y_B^{2}\\\\-2x_Ax_C+x_A^{2}-2y_Ay_C+y_A^{2}=-2x_Bx_C+x_B^{2}+-2y_By_C+y_B^{2}$

Ahora reemplazando por los valores de los puntos A y B:

$-2.2x+(2)^{2}-2(-3)y+(-3)^{2}=-2(-2)x+(-2)^{2}+-2(6)y+(6)^{2}\\-4x+4+6y+9=4x+4-12y+36\\-4x+6y+13=4x-12y+40\\-8x+18y-27=0$

El lugar geométrico buscado es la recta $-8x+18y-27=0$. La imagen d grafica la situación.