Question

Con que criterio y de que forma podria determinar la convergencia o divergencia de la siguiente serie?

(n^1/2)*(-1)^n

Aclaraciones: La serie arranca en 1 y es raiz cuadrada de n por -1 a la n

Answer 1

En el caso de la serie:

$a_n=\sqrt{n} (-1)^n$

A simple vista no deja entrever la tendencia a la convergencia, el criterio de D'Alembert no nos sirve porque solo aplica a series de números estrictamente positivos y esta es una serie alternada. Vamos al criterio de Cauchy por el cual para series alternadas es:

Sea:

$a_n=(-1)^nk_n$

Debe cumplirse

$\lim_{n \to \infty} (-1)^nk_n=0$

$\lim_{n \to \infty} (-1)^n\sqrt{n}=0$

Y también:

$|a_n|\geq |a_{n+1}|$

$|(-1)^n\sqrt{n}|\geq |(-1)^{n+1}\sqrt{n+1}|\\\sqrt{n}\geq \sqrt{n+1}$

Para que la serie sea convergente, de lo contrario divergerá.

A simple vista vemos que la segunda condición no se cumple, de modo que la serie es divergente y se pudo determinar por el criterio de Cauchy.