Question

Determine el rotacional y la divergencia del campo que se muestra a continuación.

a) F(x,y,z)=x/z i+y/z j+1/z k

Answer 1

• El rotacional es $\nabla \times F=(\frac{y}{z^{2}})\hat{i}+(-\frac{x}{z^{2}})\hat{j}$
• La divergencia es $\nabla \cdot F=\frac{1}{z}+\frac{1}{z}-\frac{1}{z^{2}}=\frac{2}{z}-\frac{1}{z^{2}}$

El rotacional de un campo vectorial se define como

$F=F_1\hat{i}+F_2\hat{j}+F_3\hat{z}=(F_1,F_2,F_3)$

Tenemos

$F(x,y,z)=\frac{x}{z}\hat{i}+\frac{y}{z}\hat{j}+\frac{1}{z}\hat{k}$

Sabiendo entonces

$F_1=\frac{x}{z}$

$F_2=\frac{y}{z}$

$F_3=\frac{1}{z}$

Definimos el rotacional como

$\nabla \times F=(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z})\hat{i}+(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x})\hat{j}+(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y})\hat{k}$

Ahora, con la definición del rotacional, habiendo derivado cada función con respecto a su componente necesaria, se tiene

$\nabla \times F=(0+\frac{y}{z^{2}})\hat{i}+(-\frac{x}{z^{2}}-0)\hat{j}+(0-0)\hat{k}$

Dando como resultado el rotacional de F como

$\nabla \times F=(\frac{y}{z^{2}})\hat{i}+(-\frac{x}{z^{2}})\hat{j}$

La divergencia de un campo vectorial se define como

$\nabla \cdot F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}$

Habiendo hecho las derivadas, tenemos

$\nabla \cdot F=\frac{1}{z}+\frac{1}{z}-\frac{1}{z^{2}}=\frac{2}{z}-\frac{1}{z^{2}}$