Question

Alguien porfa resuelva esto !!!

Answer 1

En el plano inclinado, el peso se divide en dos componentes, una paralela al plano y una perpendicular al plano. Para la componente paralela al plano tengo:

$p_x=mg.sen(\theta)$

Esta componente es la que va a actuar sobre el cuerpo haciendo que se deslice.

Y para la componente perpendicular:

$p_y=mg.cos(\theta)$

Esta componente no participa del movimiento pero actúa sobre el rozamiento ya que la fuerza normal que ejerza el plano inclinado será igual a esta.

Aplicando la segunda ley de Newton tengo:

$P_x-r=ma\\mg.sen(\theta)-\mu N=ma\\mg.sen(\theta)-\mu mg.cos(\theta)=ma$

Operando:

$g.sen(\theta)-\mu g.cos(\theta)=a\\g(sen(\theta)-\mu cos(\theta))=a$

Esta es la aceleración con la que va a caer el bloque.

La distancia recorrida es:

$cos(\theta)=\frac{R}{d}\\d=\frac{R}{cos(\theta)}$

Planteo la ecuación del movimiento uniformemente acelerado, que es el que el bloque va a describir, tomando como referencia la base del plano inclinado.

$x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\\\\x=\frac{R}{cos(\theta)}-\frac{1}{2}g(sen(\theta)-\mu cos(\theta))t^2$

Ahora despejo el tiempo de caída:

$0=\frac{R}{cos(\theta)}-\frac{1}{2}g(sen(\theta)-\mu cos(\theta))t^2\\\frac{R}{cos(\theta)}=\frac{1}{2}g(sen(\theta)-\mu cos(\theta))t^2\\\\t=\sqrt{\frac{2R}{g.cos(\theta)(sen(\theta)-\mu cos(\theta))}}$

Ahora bien, el ángulo que haga mínimo el tiempo de caída será el que resulte de hallar la derivada de esa función e igualarla a cero.

$t=\sqrt{\frac{2R}{g.cos(\theta)(sen(\theta)-\mu cos(\theta))}}=\sqrt{\frac{2R}{g}}(cos(\theta)(sen(\theta)-\mu cos(\theta)))^{-1/2}\\\\\frac{dt}{d\theta}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2R}{g}}(cos(\theta)(sen(\theta)-\mu cos(\theta)))^{-3/2}.[-sen(\theta)(sen(\theta)-\mu cos(\theta))+cos(\theta)(cos(\theta)+\mu.sen(\theta))]$

Reacomodando la expresión hallada:

$\frac{dt}{d\theta}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2R}{g}}(cos(\theta)(sen(\theta)-\mu cos(\theta)))^{-3/2}.[-sen^2(\theta)+\mu sen(\theta)cos(\theta))+cos^2(\theta)+\mu.cos(\theta).sen(\theta)]$

Sabemos que:

$cos(2\theta)=cos^2(\theta)-sen^2(\theta)\\sen(2\theta)=2sen(\theta)cos(\theta)$

Reemplazo en la derivada:

$\frac{dt}{d\theta}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2R}{g}}(cos(\theta)(sen(\theta)-\mu cos(\theta)))^{-3/2}.[cos(2\theta)+\mu.sen(2\theta)]\\\frac{dt}{d\theta}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2R}{g}}\frac{cos(2\theta)+\mu.sen(2\theta)}{(cos(\theta)(sen(\theta)-\mu cos(\theta)))^{3/2}}$

Ahora para hallar el ángulo de inclinación que hace mínimo el tiempo de caída basta con igualar a cero el numerador:

$cos(2\theta)+\mu.sen(2\theta)=0\\cos(2\theta)=-\mu.sen(2\theta)\\-\frac{1}{\mu}=\frac{sen(2\theta)}{cos(2\theta)}=tg(2\theta)\\\\2\theta=arctg(-\frac{1}{\mu})=112\°$

Con lo que el ángulo que hace mínimo el tiempo de deslizamiento es 56°.