Question

El potencial eléctrico inmediatamente afuera de una esfera conductora con carga es 200 V, y 10 cm, más lejos del centro de la esfera el potencial es 150 V. a) ¿Esta información es suficiente para determinar la carga en la esfera y su radio? Explique. b) El potencial eléctrico inmediatamente afuera de otra esfera conductora con carga es 210 V y 10.0 cm, más lejos del centro de la magnitud del campo eléctrico es 400 V/m. ¿Esta información es suficiente para determinar la carga en la esfera y su radio? Explique.

Answer 1

En una esfera conductora, así como en todo sólido conductor, la carga se concentra en la superficie frontera. Solo hay campo eléctrico fuera de ella, aplicamos la Ley de Gauss tomando como superficie gaussiana una esfera más grande que la esfera bajo estudio y concéntrica con esta y de radio r:

$\int\limits^{}_V {E} \, dV =\frac{Q}{\epsilon_0}$

El campo es uniforme en todo punto de la superficie gaussiana:

$EA=\frac{Q}{\epsilon._0}\\E.4\pi r^2=\frac{Q}{\epsilon_0} \\E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0.r^2} =k\frac{Q}{r^2}$

Llegando a la misma ecuación que para una carga puntual.

A) Vamos a analizar si con tener el potencial a dos distancias distintas alcanza para obtener la carga de la esfera y su radio.

$V_A-V_B=\int\limits^B_A {E} \, dr =kQ\int\limits^B_A {\frac{1}{r^2} \, dr =kQ(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B})$

Si tenemos en cuenta según datos del problema que:

$r_B=r_A+0,1m$

Planteamos los potenciales en los dos puntos:

$V_A=k\frac{Q}{r_A}\\\\V_B=k\frac{Q}{r_A+0,1}$

Despejo kQ e igualo las dos ecuaciones:

$r_AV_A=kQ\\(r_A+0,1)V_B=kQ\\\\r_AV_A=(r_A+0,1)V_B\\r_AV_A=r_AV_B+0,1V_B$

Ahora despejo rA:

$r_A(V_A-V_B)=0,1V_B\\r_A=0,1\frac{V_B}{V_A-V_B}=0,1\frac{150V}{200V-150V}=0,3m.$

Este es el radio de la esfera ya que uno de los puntos está inmediatamente afuera de esta.

Ahora conocido uno de los potenciales calculo la carga:

$V_A=k\frac{Q}{r_A}\\Q=\frac{V_Ar_A}{k}=\frac{200V.0,3m}{9x10^{9}\frac{Nm^2}{C^2}}=6,67nC$

Concluímos que se pudo determinar el radio y la carga de la esfera conociendo el potencial a dos distancias, siendo estos respectivamente 0,3 metros y 6,67nC.

B) Con la ecuación del campo eléctrico que hallamos antes tengo:

$E_B=k\frac{Q}{r_B^2}$

Y el potencial justo afuera de la esfera:

$V_A=k\frac{Q}{r_A}$

Tengo que:

$r_B=r_A+0,1$

Reemplazo en la ecuación del campo eléctrico en B:

$E_B=k\frac{Q}{(r_A+0,1)^2}$

Ahora en la ecuación del campo eléctrico en B y en la del potencial en A despejo kQ e igualo:

$V_Ar_A=kQ\\(r_A+0,1)^2E_B=kQ\\\\V_Ar_A=(r_A+0,1)^2E_B\\V_Ar_A=r_A^2E_B+0,2r_AE_B+0,01E_B\\0=r_A^2E_B+r_A(0,2E_B-V_A)+0,01E_B$

Ahora reemplazo valores para resolver la ecuación cuadrática:

$V_A=210V\\E_B=400\frac{V}{m}\\\\0=r_A^2.400\frac{V}{m}+r_A(0,2m.400\frac{V}{m}-210V)+0,01.400\frac{V}{m}\\0=400r_A^2-130r_A+4\\\\r_A=\frac{130\ñ\sqrt{130^2-4.400.4}}{2.400}=\frac{130\ñ102}{800} =\\\\r_A=0,29m; r_A=0,035m$

Despejo la carga para las dos distancias que me dió:

$V_A=k\frac{Q}{r_A}\\Q=\frac{V_Ar_A}{k}=\frac{210V.0,29m}{9x10^{9}}=6,77nC\\\\Q=\frac{V_Ar_A}{k}=\frac{210V.0,035m}{9x10^{9}}=0,82nC$

Ahora compruebo si da el campo eléctrico:

$E=k\frac{Q}{r_B^2}=9x10^9\frac{6,77nC}{0,39^2}=401\frac{V}{m}\\E=k\frac{Q}{r_B^2}=9x10^9\frac{0,82nC}{0,135^2}=405\frac{V}{m}$

Con lo que también se pudo obtener el radio y carga de la esfera existiendo dos posibilidades: 0,035 metros y 0,82nC o 0,29m y 6,77nC