Question

Encontrar el área entre las curvas dadas y realiza las gráficas:
y = x3 y = 0 entre x = -3 hasta x = 3

Encuentra el volumen de revolución alrededor del eje “X”.
y = x2 /5 en x = 4; y = 0

Calcula el volumen de los cascarones alrededor del eje “y” de las siguientes funciones:
y = 1/x con x = 1, x = 4, y = 0

Hallar el valor promedio de las siguientes funciones en el intervalo dado:
a) f(x)= 4x3 en (1,3)
b) f(x)= cos x en (0, pi )

Answer 1

Vamos a encontrar en este punto áreas y volúmenes de recintos delimitados por funciones, lo cual es una de las principales aplicaciones de las integrales definidas.

1)Se solicita el área del recinto comprendido entre:

$y=x^3; y=0; x=-3; x=3$

Para ello aplicamos la definición de área bajo la curva entre dos puntos a y b:

$A=\int\limits^a_b {|f(x)|} \, dx$

Bien, la función $y=x^3$ tiene un cero dentro del intervalo de interés, por lo que para calcular el área será necesario realizar dos integrales. Sin embargo es una función impar, de modo que su gráfica tiene simetría central respecto del origen y cumple que f(x)=-f(-x). Entonces:

$f(x)=-f(-x)\\x^3=-(-x)^3\\\\-\int\limits^0_{-3} {x^3} \, dx =\int\limits^3_{0} {x^3} \, dx$

Nos queda que:

$\frac{A}{2}= \int\limits^3_{0} {x^3} \, dx=\frac{3^4}{4}-\frac{0^4}{4}=\frac{81}{4}\\A=2.\frac{81}{4}=\frac{81}{2}$

El área del recinto es 81/2.

2) Aquí nos piden un volumen de revolución de una curva alrededor del eje x, esto significa que si hacemos girar la curva en torno al eje x, esta definirá una superficie cuya sección transversal será circular y cuya sección longitudinal será simétrica y tendrá la forma de la curva bajo estudio. Hay que calcular el volumen encerrado por esa superficie.

Pues bien si la función es:

$y=\frac{x^2}{5}$

entre x=4 y x=0.

Tomemos un elemento diferencial de volumen, con la forma de un cilindro de altura infinitesimal y perpendicular al eje x.

$dV=\pi r^2dx=\pi y^2dx=\pi (\frac{x^2}{5} )^2dx=\pi \frac{x^4}{25}dx$

Ahora tenemos que hacer la integral para hallar el volumen:

$V=\int\limits^4_0 \, dV =\int\limits^4_0 \pi \frac{x^4}{25} \, dx =\pi[\frac{x^5}{125}]^4_0\\V=\pi.\frac{4^5}{125}=\pi\frac{1024}{125}$

Así que el volumen de revolución buscado es $\pi\frac{1024}{125}$.

3) Aquí nos piden un volumen de revolución alrededor del eje y. Para poder aplicar el procedimiento anterior, es necesario que el eje alrededor del cual gira la función sea el de la variable independiente, aquí se da lo contrario. Por lo que vamos a hallar la función inversa.

$y=f(x)=\frac{1}{x}\\x=\frac{1}{y}\\f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$

Nuestro elemento diferencial de volumen será:

$dV=\pi r^2dx=\pi y^2dx=\pi. \frac{1}{ x^2} dx$

Como trabajamos con la función inversa (el conjunto imagen de la función original es el dominio de la inversa), los nuevos límites de integración son:

$f(1)=\frac{1}{1}=1\\\\f(4)=\frac{1}{4}$

Con lo que procedemos a realizar la integral:

$V=\int\limits^1_{1/4}  \, dV =\pi \int\limits^1_{1/4} \frac{1}{x^2} \, dx=\pi[-\frac{1}{x}]^1_{1/4}\\V=\pi(-\frac{1}{1}+\frac{1}{\frac{1}{4}})=3\pi$

De esta forma concluímos que el volumen buscado es $3\pi$

4)En este caso, el promedio de un conjunto está definido como la suma de todos los elementos de este dividido por la cantidad de ellos. En el caso de funciones continuas esto se traduce como el cociente entre la integral definida en el intervalo dividido por la amplitud del intervalo:

$<f>=\frac{1}{b-a}\int\limits^b_a {f(x)} \, dx$

Definición que vamos a aplicar a las funciones:

a)$<f>=\frac{1}{3-1}\int\limits^3_1 {4x^3} \, dx  = \frac{1}{3-1}[x^4]^3_1=\frac{1}{2}.(81-1)=40$

El promedio de la función en (1,3) es 40

b) $<f>=\frac{1}{\pi-0}\int\limits^{\pi}_0 {cos(x)} \, dx  =\frac{1}{\pi}(sen(\pi)-sen(0))=0$

Esto es coherente ya que la función coseno tiene simetría central respecto del punto medio del intervalo bajo estudio. Con lo que el intervalo de positividad y el de negatividad en dicho intervalo se compensan mutuamente. Concluímos que el promedio de la función en ($0,\pi$) es 0.