Question

Ciertas ondas estacionarias en un alambre se describen con la ecuación y=(2A sen kx) sen t, si 2A= 2.50 mm, w=942 rad/s, y k=0.750 rad/m. El extremo izquierdo del alambre está en x = 0. ¿A qué distancias de ese extremo están a) los nodos y b) los antinodos de la onda estacionaria?

Answer 1

En las mayoría de las ondas estacionarias la ecuación que describe la deformación del medio de transmisión en el espacio es:

$y=2A.sen(kx).sen(wt)$

Donde y es la elongación del púnto considerado, w la frecuencia angular de la onda y k el número de onda. La ecuación anterior puede escribirse como:

$A_t=2A.sen(kx)\\y=A_t.sen(wt)$

Lo que significa que cada punto de la onda va a oscilar a la frecuencia w con una amplitud dependiente de la posición del mismo, distinguimos puntos donde esta amplitud efectiva es máxima que llamamos vientres o antinodos, y puntos donde la amplitud es cero que son los nodos.

a)Así que los nodos son aquellos puntos donde:

$A_t=0\\2A.sen(kx)=0$

Para ello debe ser:

$kx=n\pi , n\epsilon N$

Podemos hallar la distancia del nodo más cercano a x=0 con n=1:

$kx=\pi \\x=\frac{\pi}{k} =\frac{\pi}{0,75\frac{rad}{m}}= 4,19m$

Con lo cual si recorro el alambre desde x=0 llego al primer nodo en x=4,19m, a partir de este están distribuidos uno cada 4,19 metros, con lo que las ubicaciones de los nodos siguen la ecuación:

$x_{nod}=(4,19.n)m, 4,19\epsilon N$

b) Los antinodos o vientres son los puntos donde la amplitud de oscilación es máxima, esto ocurre cuando:

$A_t=2A.sen(kx)=2A\\\\kx=\frac{\pi}{2} ;\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\\\\kx=\frac{2n+1}{2}\pi, n\epsilon N$.

Con lo que podemos hallar con n=0 y n=1 la distancia a los dos antinodos más cercano a x=0:

$kx=\frac{\pi}{2} \\x=\frac{\pi}{2k}=\frac{\pi}{2.0,75}=2,09m\\\\kx=\frac{3\pi}{2}\\x=\frac{3\pi}{2k}=\frac{3\pi}{2.0,75}=6,28m$

Podemos apreciar que el primer antinodo está a 2,09 metros del extremo izquierdo del alambre, y como la separación entre nodos es igualmente $\frac{\pi}{k}$, luego de este están distribuidos a lo largo del alambre cada 4,19 metros. Con lo que la ubicación de los antinodos sigue la ecuación:

$x_{ant}=(2,09+n.4,19)m, n\epsilon N$