Question

Obtengo la raiz cuadrada y cubica de un numero por descomposicion factorial

Answer 1

Respuesta:

Si, es correcto, se puede hallar la raíz de un número de la siguiente manera:

Se descompone el número en factores primos lo más pequeños posibles, y luego se sustituye por la multiplicacion de los terminos usados para su descomposición.

Ahora imaginemos una especie de aduana, el agente fronterizo es el índice de la raíz, y cada término dentro de la raiz, para salir, debe tener la característica que su exponente se pueda dividir exactamente entre el indice; al salir de la raíz su exponente queda como el cociente de esa división.

Recordemos que cuando un número no tiene exponente visible, su exponente es 1.

Y también que cuando una raíz no tiene índice, su índice es 2.

Ejemplo:

$\sqrt{16}$

Descomponemos el número en factores primos:

16|2

8|2

4|2

2|2

1

Ahora lo sustituimos por la multiplicacion de los terminos usados en su descomposición:

$\sqrt{16} = \sqrt{2 {}^{4} }$

El índice de la raíz es ''2''. Observamos que el exponente del término dentro de la raíz es ''4''.

El exponente del término se puede dividir exactamente entre el indice, por lo que el número puede salir de la raíz.

Al salir de la raíz, el exponente del número queda como el resultado de dicha división (4÷2=2).

$\sqrt{16} = 2 {}^{2}$

Simplificamos:

$\sqrt{16} = 4$

Otro ejemplo:

$\sqrt[3]{27}$

Lo descomponemos en factores primos:

27|3

9|3

3|3

1

Ahora sustituimos:

$\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3 {}^{3} }$

El índice es 3.

El exponente del término del radicando es 3.

El exponente del término se puede dividir exactamente entre el índice por lo que el número puede salir de la raíz.

Al salir de la raíz, el exponente del número queda como el resultado de esa división (3÷3=1):

$\sqrt[3]{27} = 3$

Otro ejemplo:

$\sqrt{36}$

Descomponemos el radicando en factores primos:

36|2

18|2

9|3

3|3

Sustituimos:

$\sqrt{36} = \sqrt{2 {}^{2} \times 3 {}^{2} }$

El índice es 2.

En este caso hay 2 términos dentro del radicando, por lo que repetimos el proceso 2 veces.

El exponente del término <<2^2>> se puede dividir exactamente entre el índice, por lo que lo sacamos de la raíz con exponente (2÷2=1)

$(2) \sqrt{3 {}^{2} }$

El exponente del número <<3^2>> se puede dividir exactamente entre el índice, por lo que lo sacamos con exponente (2÷2=1)

$\sqrt{36} = (2)(3)$

$\sqrt{36} = 6$

Otro ejemplo:

$\sqrt[3]{3375}$

Descomponemos en factores primos:

3375|3

1125|3

375|3

125|5

25|5

5|5

1

Sustituimos:

$\sqrt[3]{3375} = \sqrt[3]{3 {}^{3} \times 5 {}^{3} }$

El índice es 3.

El número <<3^3>> se puede sacar porque su exponente se puede dividir entre el índice; Su exponente queda como (3÷3=1).

$\sqrt[3]{3375} = 3 \sqrt[3]{5 {}^{3} }$

El término <<5^3>> tiene un exponente divisible entre el índice, por lo que se saca de la raíz con exponente (3÷3=1).

$\sqrt[3]{3375} = (3)(5)$

$\sqrt[3]{3375} = 15$

Último ejemplo:

$\sqrt[3]{120}$

Descomponemos:

120|2

60|2

30|2

15|3

5|5

1

Sustituimos:

$\sqrt[3]{120} = \sqrt[3]{ {2 {}^{3} \times 3 \times 5}}$

El término <<2^3>> se puede sacar de la raíz, por que su exponente es divisivle entre el índice. Su nuevo exponente será (3÷3=1).

$\sqrt[3]{120} = 2 \sqrt[3]{ 3\times5 }$

El exponente del término <<3^1>> no es divisible entre el índice, por lo que no se puede sacar de la raíz.

El exponente del término <<5^1>> no se puede dividir entre el índice, por lo que no se puede sacar de la raíz.

Nos queda como:

$\sqrt[3]{120} = 2 \sqrt[3]{3 \times 5}$

$\sqrt[3]{120} = 2 \sqrt[3]{15}$

Como podemos observar, no pudimos sacar todos los terminos de la raíz, y esto es porque la raíz no es un número entero.

Sin embargo, la raíz se ve mucho más simple que la raíz de 120.

A este proceso se le conoce como simplificación, consiste en dejar el menor número posible dentro de la raíz.

Espero hayas entendido, si tienes alguna duda preguntame.

Este proceso de encontrar raíces por descomposición en factores primos sirve tanto para encontrar raíces exactas, como para simplificar raíces.

Ten un buen día.

Answer 2

Respuesta:

Se descompone el número en factores primos lo más pequeños posibles, y luego se sustituye por la multiplicacion de los terminos usados para su descomposición.

Ahora imaginemos una especie de aduana, el agente fronterizo es el índice de la raíz, y cada término dentro de la raiz, para salir, debe tener la característica que su exponente se pueda dividir exactamente entre el indice; al salir de la raíz su exponente queda como el cociente de esa división.

Recordemos que cuando un número no tiene exponente visible, su exponente es 1.

Y también que cuando una raíz no tiene índice, su índice es 2.

Ejemplo:

Descomponemos el número en factores primos:

16|2

8|2

4|2

2|2

1

Ahora lo sustituimos por la multiplicacion de los terminos usados en su descomposición:

El índice de la raíz es ''2''. Observamos que el exponente del término dentro de la raíz es ''4''.

El exponente del término se puede dividir exactamente entre el indice, por lo que el número puede salir de la raíz.

Al salir de la raíz, el exponente del número queda como el resultado de dicha división (4÷2=2).

Simplificamos:

Otro ejemplo:

Lo descomponemos en factores primos:

27|3

9|3

3|3

1

Ahora sustituimos:

El índice es 3.

El exponente del término del radicando es 3.

El exponente del término se puede dividir exactamente entre el índice por lo que el número puede salir de la raíz.

Al salir de la raíz, el exponente del número queda como el resultado de esa división (3÷3=1):

Otro ejemplo:

Descomponemos el radicando en factores primos:

36|2

18|2

9|3

3|3

Sustituimos:

El índice es 2.

En este caso hay 2 términos dentro del radicando, por lo que repetimos el proceso 2 veces.

El exponente del término <<2^2>> se puede dividir exactamente entre el índice, por lo que lo sacamos de la raíz con exponente (2÷2=1)

El exponente del número <<3^2>> se puede dividir exactamente entre el índice, por lo que lo sacamos con exponente (2÷2=1)

Otro ejemplo:

Descomponemos en factores primos:

3375|3

1125|3

375|3

125|5

25|5

5|5

1

Sustituimos:

El índice es 3.

El número <<3^3>> se puede sacar porque su exponente se puede dividir entre el índice; Su exponente queda como (3÷3=1).

El término <<5^3>> tiene un exponente divisible entre el índice, por lo que se saca de la raíz con exponente (3÷3=1).

Último ejemplo:

jdhaishdjshus

Descomponemos:

120|2

60|2

30|2

15|3

5|5

1

Sustituimos:

El término <<2^3>> se puede sacar de la raíz, por que su exponente es divisivle entre el índice. Su nuevo exponente será (3÷3=1).

El exponente del término <<3^1>> no es divisible entre el índice, por lo que no se puede sacar de la raíz.

El exponente del término <<5^1>> no se puede dividir entre el índice, por lo que no se puede sacar de la raíz.

Nos queda como:

Como podemos observar, no pudimos sacar todos los terminos de la raíz, y esto es porque la raíz no es un número entero.

Sin embargo, la raíz se ve mucho más simple que la raíz de 120.

A este proceso se le conoce como simplificación, consiste en dejar el menor número posible dentro de la raíz.

Espero hayas entendido, si tienes alguna duda preguntame.

Este proceso de encontrar raíces por descomposición en factores primos sirve tanto para encontrar raíces exactas, como para simplificar raíces.

Ten un buen día.