Question

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias.
Según el ejercicio seleccionado, desarrollar la integral impropia.

Answer 1

La integral impropia solicitada es 6

Desarrollo paso a paso:

Las integrales impropias son aquellas integrales definidas en las cuales uno de los límites es $+\infty$ ó $-\infty$, en ese caso el procedimiento que emplearemos el es siguiente:

$\int\limits^a_{-\infty} {f(x)} \, dx =\lim_{x \to -\infty}\int\limits^a_{x} {f(x)} \, dx=F(a)-F(-\infty)=F(a)- \lim_{x \to -\infty} F(x)$

Donde F(x) es la primitiva que deberemos hallar mediante integración por partes. En la que:

$\int\limits^{}_{} {u} \, dv =u.v-\int\limits^{}_{} {v} \, du$

Para hallar la primitiva del ejercicio dado:

$\int\limits^{}_{} {-x^3e^x} \, dx$

Hacemos:

$u=-x^3\\dv=e^x\\\\v=\int\limits^{}_{} {} \, dv =e^x\\du=u'=-3x^2$

Nos queda:

$\int\limits^{}_{} {-x^3e^x} \, dx=-x^3e^x-\int\limits^{}_{} {-3x^2e^x}\, dx \\\int\limits^{}_{} {-x^3e^x} \, dx=-x^3e^x+\int\limits^{}_{} {3x^2e^x}\, dx$  (1)

Para resolver la integral:

$\int\limits^{}_{} {3x^2e^x}\, dx$

Hay que realizar una nueva intgración por partes donde:

$u=3x^2\\dv=e^x\\\\du=6x\\v=e^x$

Y nos queda:

$\int\limits^{}_{} {3x^2e^x}\, dx=3x^2e^x-\int\limits^{}_{} {6xe^x}\, dx$ (2)

Si reemplazamos la ecuación (2) en la (1) queda:

$\int\limits^{}_{} {-x^3e^x} \, dx=-x^3e^x+\int\limits^{}_{} {3x^2e^x}\, dx\\\int\limits^{}_{} {-x^3e^x} \, dx=-x^3e^x+3x^2e^x-\int\limits^{}_{} {6xe^x}\, dx$ (3)

Una nueva integración por partes se realiza para obtener la siguiente integral:

$\int\limits^{}_{} {6xe^x}\, dx$

Donde:

$u=6x\\dv=e^x\\\\v=e^x\\du=6$

Y queda:

$\int\limits^{}_{} {6xe^x}\, dx=6xe^x-\int\limits^{}_{} {6e^x}\, dx=6xe^x-6e^x}$ (4)

Ahora queda reemplazar la ecuación (4) en la (3):

$\int\limits^{}_{} {-x^3e^x} \, dx=-x^3e^x+3x^2e^x-6xe^x+6e^x\\F(x)=e^x(-x^3+3x^2-6x+6)$

Ahora aplicamos la ecuación para resolver la integral impropia:

$\int\limits^0_{-\infty} {-x^3e^x} \, dx =F(0)- \lim_{x \to -\infty} F(x)\\\int\limits^0_{-\infty} {-x^3e^x} \, dx =e^0(-0^3+3.0^2-6.0+6)-\lim_{x \to -\infty} e^x(-x^3+3.x^2-6.x+6)=6-\lim_{x \to -\infty} e^x(-x^3+3.x^2-6.x+6)$

Pero:

$\lim_{x \to -\infty} e^x(-x^3+3.x^2-6.x+6)=\lim_{x \to -\infty} e^x.\lim_{x \to -\infty} (-x^3+3.x^2-6.x+6)\\\lim_{x \to -\infty} e^x(-x^3+3.x^2-6.x+6)=0.(-\infty)=$

Es una indeterminación tipo cero por infinito. Voy a aplicar sucesivamente el teorema de L'Hoppital, consistente en que si queremos hallar el límite de un cociente de expresiones matemáticas, el límite del cociente entre las derivadas de dicha expresiones es el mismo, se cumple que:

$\lim_{x \to \{x_0}} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to \{x_0}} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

Previo transformar la función F(x) en un cociente, le aplicamos L'Hoppital:

$lim_{x \to -\infty} e^x(-x^3+3.x^2-6.x+6)=lim_{x \to -\infty} \frac{-x^3+3.x^2-6.x+6}{e^{-x}}=\\lim_{x \to -\infty} \frac{-x^3+3.x^2-6.x+6}{e^{-x}}=lim_{x \to -\infty} \frac{-3x^2+6.x-6}{-e^{-x}}=\\=lim_{x \to -\infty} \frac{-6x+6}{e^{-x}}=lim_{x \to -\infty} \frac{-6}{-e^{-x}}$

Quedó:

$lim_{x \to -\infty} e^x(-x^3+3.x^2-6.x+6)=0$

Ahora sí, la integral impropia buscada es:

$\int\limits^0_{-\infty} {-x^3e^x} \, dx =e^0(-0^3+3.0^2-6.0+6)-\lim_{x \to -\infty} e^x(-x^3+3.x^2-6.x+6)=6-0=6$

Con lo que la integral impropia $\int\limits^0_{-\infty} {-x^3e^x} \, dx$ es 6