Question

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes.
Desarrollar el ejercicio seleccionado utilizando el método de integración por partes.

Answer 1

Respuesta:

hola lo hice en una hoja

saludos

Answer 2

Al desarrolla  el ejercicio con el método de integración por partes se obtiene:

$\int\limits{\frac{xe^{2x} }{(1+2x)^{2} } } \, dx = -\frac{xe^{2x}}{2(1+2x)}+\frac{e^{2x}}{4}+C$

Explicación:

Aplicar integral por partes: $\int\limits{u} \, dv = uv-\int\limits {v} \, du$

Siendo;

$u = xe^{2x}$

Derivar u;

Aplicar derivada del producto;

du= x'(e^2x) + x(e^2x)' dx

$du = e^{2x}+2x e^{2x} dx$

$dv=\frac{1}{(1+2x)^{2} }dx$

Integrar dv:

$\int\limits {}dv=\int\limits {\frac{1}{(1+2x)^{2} }} \, dx$

Aplicar sustitución;

Multiplicar y dividir por 2;

$\int\limits {}dv=\int\limits {\frac{2}{2(1+2x)^{2} }} \, dx$}

obtener d(1+2x);

$\int\limits {}dv=\int\limits {\frac{1}{2(1+2x)^{2} }} \, d(1+2x)$}

$=\int\limits {\frac{(1+2x)^{-2}}{2} \, d(1+2x)$

$=-\frac{(1+2x)^{-1}}{2}$

$v = -\frac{1}{2(1+2x)}$

Sustituir;

$= -\frac{xe^{2x} }{2(1+2x)} - \int\limits{-\frac{(1+2x)e^{2x}}{2(1+2x)}  } \, dx$

$= -\frac{xe^{2x} }{2(1+2x)} +\frac{1}{2}  \int\limits{e^{2x}}\, dx$

Aplicar sustitución;

Multiplico y divido por 2;

$=\frac{2}{2} \int\limits {e^{2x} } \, dx$

obtengo d(2x);

$=\frac{1}{2} \int\limits {e^{2x} } \, d(2x)$

$=\frac{e^{2x}}{2}+C$

$= -\frac{xe^{2x} }{2(1+2x)} +\frac{1}{2} \frac{e^{2x}}{2}+C$

$= -\frac{xe^{2x} }{2(1+2x)} + \frac{e^{2x}}{4}+C$