Question

halla la ecuacion canónica de cada parabola a partir de las condiciones dada:

Answer 1

La ecuación canónica de las parábolas de este ejercicio, las cuales están centradas en el origen y sus ejes son paralelos al eje x o al eje y sigue la forma:

$y^2=4x_fx$

$x^2=4y_fy$

Donde $x_f, y_f$ son distintos de cero y es la distancia focal (su signo da pista de la dirección que siguen las ramas de la parábola), y el eje de la parábola es el de la variable elevada al cuadrado. Para hallarla hay que tener en cuenta que todo punto de la curva es equidistante de la recta directriz y del foco. Siendo la recta directriz, una recta perpendicular al eje focal tal que el vértice equidista respecto de esta recta y del foco.

Pasamos a resolver:

a) El vértice está en (0,0) y el foco es (6,0). Esto nos permite deducir que la recta directriz es r:x=-6.

Sea un punto $P(x_p,y_p)$, el foco $R(x_f,y_f)$ y un punto de la directriz $Q(x_q,y_q)$

La distancia a la recta directriz se toma en la dirección perpendicular a esta, y la distancia al foco se toma como la distancia de un punto a otro del plano:

$d(P,r)= ||PQ||=||(-x_q-x,0)||=|x+x_q|\\d(P,f)= ||PF||=||(x_p-x_f,y_p-y_f)||=\sqrt{(x_p-x_f)^2+(y_p-y_f)^2}$

Por definición igualamos las distancias:

$\sqrt{(x_p-x_f)^2+(y_p-y_f)^2}=|x+x_q|$

$(x-x_f)^2+(y-y_f)^2=(|x+x_q|)^2\\x^2-2xx_f+x^2_f+y^2-2yy_f+y^2_f=x^2+2xx_q+x_q^2\\|x_q|=|x_f|=>-2xx_f+x_f^2+y^2-2yy_f+y_f^2=2xx_f+x_f^2\\-2xx_f+y^2-2yy_f+y_f^2=2xx_f\\y^2-2yy_f+y_f^2=4xx_f$

Reemplazando:

$x_f=6; y_f=0\\\\y^2=4.6x\\y^2=24x$

Con lo que la ecuación canónica es $y^2=24x$

b) Si el vértice está en (0,0) y la recta directriz en y+8=0, es decir y=-8, podemos deducir que el foco está en (0,8)

La distancia de un punto P de la curva a un punto Q en la directriz es:

$r:y=-y_f => Q=(x_q,-y_f)$

$d(PQ)=||(0,-y_f-y)||=|y+y_f|$

Y la distancia de un punto P al foco es:

$d(PF)=||(x-x_f,y-y_f)||=\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}$

Igualo las distancias:

$\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=|y+y_f|\\(x-x_f)^2+(y-y_f)^2=|y+y_f|^2\\x^2-2xx_f+x_f^2+y^2-2yy_f+y_f^2=y^2+2yy_f+y_f^2\\x^2+x_f^2-2xx_f-2yy_f=2yy_f\\x^2+x_f^2-2xx_f=4yy_f$

Reemplazando:

$x^2+x_f^2-2xx_f=4yy_f\\x_f=0\\y_f=8\\\\x^2=4y.8=32y$

Con lo que la ecuación canónica es $x^2=32y$

c) En este caso el vértice es (0,0), y el foco es (0,6), con lo que la recta directriz queda: $r:y=-y_f => r:y=-6$.

La distancia de un punto P de la curva a un punto Q en la directriz es:

$Q=(x_q,-y_f)\\d(PQ)=||(0,-y-y_f)||=|y+y_f|$

Y la distancia de un punto de la curva al foco:

$d(PF)=\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}$

Igualo las distancias:

$\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=|y+y_f|\\(x-x_f)^2+(y-y_f)^2=|y+y_f|^2\\x^2-2xx_f+x_f^2+y^2-2yy_f+y_f^2=y^2+2yy_f+y_f^2\\x^2-2xx_f+x_f^2-2yy_f=2yy_f\\x^2-2xx_f+x_f^2=4yy_f$

Reemplazando:

$x^2-2xx_f+x_f^2=4yy_f\\x_f=0; y_f=6\\\\x^2=4y.6=24y$

Con lo que la ecuación canónica es $x^2=24y$

d) El vértice es (0,0) y la recta directriz x-5=0, es decir es r:x=5, nos queda que el foco está en (-5,0).

La distancia de un punto P de la curva a un punto Q de la directriz es:

$Q=(-x_f,y_q)\\d(PQ)=||-x-x_f,0||=|x_f+x|$

Y de un punto P al foco:

$d(PF)=||(x-x_f,y-y_f)||=\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}$

Igualo las distancias:

$\sqrt{(x-x_f)^2+(y-y_f)^2}=|x+x_f|\\(x-x_f)^2+(y-y_f)^2=|x+x_f|^2\\x^2-2xx_f+x_f^2+y^2-2yy_f+y_f^2=x^2+2xx_f+x_f^2\\-2xx_f+y^2+2yy_f+y_f^2=2xx_f\\y^2+2yy_f+y_f^2=4xx_f$

Reemplazando:

$x_f=-5\\y_f=0\\\\y^2+2yy_f+y_f^2=4xx_f\\y^2=4.(-5).x=-20x$

Con lo que la ecuación canónica es $y^2=-20x$