En una fábrica se trasladan cajas de 10 kg en una banda transportadora que se mueve con rapidez constante. Al final de la banda se encuentra una rampa que llevará la caja hasta el punto D. El coeficiente de fricción cinético entre las superficies en la rampa es de 0.38. Las dimensiones de la banda y la rampa se muestran en el diagrama siguiente:
Calcula:
Con base en el problema anterior, se requiere obtener la rapidez a la que se debe mover la banda para que las cajas lleguen con una rapidez de 0.3 m/s al punto D, que es el lugar donde los trabajadores las recogen, pues de llegar con una mayor rapidez se puede dañar la caja. Aplicando la ley de la conservación de la energía, calcula la velocidad de la banda transportadora realizando los pasos siguientes:
a) De C a D
i. ¿Con qué energía cinética debe llegar la caja al final de la rampa? (punto D).
ii. ¿Cuánta energía se pierde por fricción entre los puntos C y D?.
iii. ¿Qúe energía cinética debe tener en el punto C?
iv.¿Cual es la velocidad en el punto C?
b) De B a C
Revisa el siguiente diagrama para analizar la zona de rampa.
i. ¿Cuál es la longitud y el ángulo de inclinación de la rampa?.
ii. ¿Cuánto vale la fuerza de fricción en este segmento?
iii. ¿Cuánta energía se disipa por fricción?
iv. ¿Cuál es el valor de la energía potencial en el punto B?
v. ¿Y cuál debe ser su energía cinética al llegar al punto B para llegar al punto C con la velocidad que ya calculaste previamente?
c) De A a B
i. ¿Con qué velocidad debe ir la banda transportadora?
d) ¿En cuánto tiempo se realizó todo el recorrido?
i. De A a B
ii. De B a C
iii. De C a D
iv. De A a D
e) Usando los valores que obtuviste de la energía disipada por fricción en las dos secciones de la rampa de aluminio (de B a D) y el tiempo que tardó su recorrido por esa rampa, obtén la potencia promedio del calor disipado en un recorrido de una caja por esa rampa
Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
a)
CD: la energía es solo cinética, la fuerza resultante es la fricción.
La fuerza normal es vertical y contraria al peso.
N= -m.g= -10*9,8 = -98 Newtons
Fr=μ*N=0,38*(-98)= -37,24 Newtons
Trabajo de la fricción o energía mecánica perdida
Wf= Fr*CD = -37,34*3 = -111,72 Julios
Energía en D
E(D) = 1/2 m*v^2 = 1/2*10*(0,3)^2 = 0,45 Julios
Conservación de la energía
E(C) + Wf = E(D)
E(C) - 111,72 = 0,45
E(C) = 112,17 Julios
Velocidad en C
E(C) = 1/2 m*V(C)^2
112,17 = 1/2*10* V(C)^2
V(C) = Raiz(22,434)
V(C) = 4,74 m/s
b) En el punto B la energía es cinética y potencial.
BC = Raiz(2,25^2+3^2) = 3,75 metros
Angulo de inclinación
θ = arcsen(2,25/3,75) = 37°
fuerza Normal
N = mg cos 37° = 10*9,8*0,8 = 78,4 Newtons
Fuerza de fricción
Fr = -μ*N = -0,38*78,4 = - 29,792 Newtons
Trabajo de la fricción
Wf = Fr*BC = -29,792*3,75 = -111,72 Julios
Conservación de la energía
E(B) + Wf = E(C)
E(B) - 111,72 = 112,17
E(B) = 223,89 Julios
Energía potencial en el punto B
Ep(B) = mgh = 10*9,8*2,25 = 220,5 Julios
Energía cinética en el punto B
E(B) = Ep(B) + Ec(B)
223,89 = 220,5 + Ec(B)
Ec(B) = 3,39 Julios
Velocidad en el punto B
Ec(B) = 1/2 m*V(B)^2
3,39 = 1/2*10*V(B)^2
V(B) = Raiz(0,678)
V(B) = 0,82 m/s
c) De A a B la velocidad es constante de 0,82 m/s
d) tiempo
AB = v.t1
t1 = AB/v = 5/0,82 = 6,1 s
Para el tiempo entre B y C
aceleración
a = (V(C)^2 - V(B)^2)/(2BC)
a = (4,74^2 - 0,82^2)/(2*3,75)
a = 2,90 m/s^2
BC = V(B).t2 + 1/2*a*t2^2
3,75 = 0,82.t2 + 1/2*2,90*t2^2
1,45.t2^2 + 0,82.t2 - 3,75 = 0
t2 = (-0,82 ±√(0,82²-4(1,45)(-3,75)))/(2*1,45)
t2 = (-0,82 ±4,73)/2,9
Vale el positivo
t2 = (-0,82 +4,73)/2,9 = ,35 s
Falta poco espero que puedas continuar.
Para el tiempo entre C y D
aceleración
a = (V(D)^2 - V(C)^2)/(2CD)
a = (0,3^2 - 4,74^2)/(2*3)
a = -3,73 m/s^2
CD = V(C).t3 + 1/2*a*t3^2
3 = 4,74.t3 + 1/2*(-3,73)*t3^2
1,86.t3^2 - 4,74.t3 + 3 = 0
t3 = (4,74 ±√(4,74²-4(1,86)(3)))/(2*1,86)
t3 = (4,74 ±0,38)/3,73