Question

Un engrane tiene como centro el punto E (10,12) y toca uno de sus puntos exteriores una barra metálica que describe la ecuación 24x+6y+30=0
A) En que coordenadas queda el centro del engrane
B) Que medida tiene el radio del engrane
C) Determina la ecuación ordinaria de dicha circunferencia
D) Determina ecuación general

Answer 1

En el punto (A), el centro nos lo da el problema es (10,12), en el (B) el radio de la circunferencia es $r=\frac{57}{\sqrt{17}}$. En cuanto al (C), en una circunferencia, la ecuación ordinaria es la siguiente:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

donde $(x_0,y_0)$ son las coordenadas del centro y r es el radio, esta ecuación ordinaria será lo más inmediato para hallar, y para el (D) no hay más que desarrollar los cuadrados de los binomios en esa ecuación. Vamos a explicar paso a paso como obtenemos estos resultados:

A) El centro del engrane es el que da el problema $(10,12)$.

B) En este punto vamos a tener en cuenta que en toda circunferencia el radio es perpendicular a la circunferencia y por ende a la recta tangente. Con lo que hay que encontrar la longitud de un segmento perpendicular a la recta:

$24x+6y+30=0$

Y que pase por (10,12) que es el centro. Para hallar el vector director de la recta, pasamos de la ecuación implícita a las ecuaciones paramétricas, con lo que empezamos encontrando dos puntos, uno de x=0 y otro de y=0:

$24.0+6y+30=0\\6y+30=0\\y=-5, x=0\\24x+6.0+30=0\\24x+30=0\\x=-\frac{5}{4}, y=0$

Con lo que encontramos que pertenecen a la recta los puntos $(0,-5); (-\frac{5}{4},0)$

Y el vector director de esta recta será paralelo segmento que une esos dos puntos:

$v_d=k(x_1-x_2,y_1-y_2)=k(0-(-\frac{5}{4}),-5-0)=k(\frac{5}{4},-5)=(1,-4)$

Este es el vector director de la recta dada, ahora podemos hallar la recta que contiene al radio, que es la recta que es normal a esta y pasa por el centro, para que dos vectores sean normales su producto escalar debe ser cero,

$v_d2.v_d=0\\(x_p,y_p).(1-4)=0\\x_p-4y_p=0$

Uno de los vectores que cumple con ello es (4,1), las ecuaciones paramétricas de la recta que contiene al radio son:

$x=10+4\lambda\\y=12+\lambda$

Ahora las reemplazamos las ecuaciones paramétricas de la recta normal en la de la recta que nos dieron para hallar el punto de cruce que es a su vez un punto de la circunferencia buscada

$24(10+4\lambda)+6(12+\lambda)+30=0\\240+96\lambda+72+6\lambda+30=0\\342+102\lambda=0\\\lambda=-\frac{57}{17}$

En la ecuación vectorial queda:

$(x_c,y_c)=(10,12)+\lambda(4,1)=(10,12)+(-\frac{57}{17})(4,1)$

Con lo que queda en claro que el radio del engranaje, o sea la distancia del centro al punto de cruce de la recta tangente con la recta normal que pasa por el centro es

$r=||(-\frac{57}{17})(4,1)||=\sqrt{(\frac{57}{17})^2(4^2+1^2)} =\frac{57}{\sqrt{17}}$

c)Entonces queda que la ecuación ordinaria de la circunferencia es:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

Donde $(x_0,y_0)$ es el centro y r el radio queda:

$(x-10)^2+(y-12)^2=\frac{3249}{17}$

D)Para hallar la ecuación general desarrollo los cuadrados:

$x^2-20x+100+y^2-24y+144-\frac{3249}{17}=0 \\x^2+y^2-20x-24y+244-\frac{3249}{17}=0\\x^2+y^2-20x-24y+\frac{899}{17}=0$