Question

Un jabalí arremete directamente contra un cazador a la velocidad constante de 60 ft/s. En el instante en que el jabalí está a 100 yardas de distancia, aquél le dispara una flecha a 30° respecto al suelo. ¿Cuál debe ser la velocidad de la flecha para que alcance su blanco?

Answer 1

La velocidad inicial de la flecha (magnitud) para que alcance su blanco debe ser igual a Vo = 76.22ft/s

El movimiento del jabalí es MRU, vamos a definir "dx" como la distancia que recorre el jabali desde el momento que disparan la flecha hasta que impacte.

• V=d/t

• d = V * t

• 1)    dx = 60ft/s * t

Pasamos la distancia de yardas a pies:

• d = 100yard * 3ft/yard

• d = 300ft

El movimiento de la flecha lo descomponemos en su componente vertical  que es MRUV y el horizontal que es MRU:

• d = Vox * t

• 300ft - dx = Vo*cos(30°) *  t

• 2)    dx = 300ft - Vo*0.87 * t

En un movimiento parabólico: tmax = t / 2

• Vfy = Voy - (g * t)

• 0 = Vo * sen(30°) - (32.16ft/s² * tmax)

• Vo = 32.16ft/s² * tmax  / 0.5

• Vo = 64.32ft/s² * (t/2)

• 3)    Vo =  32.16ft/s² * t

Sustituimos ecuación 3) en ecuación 2):

• dx = 300ft - (32.16ft/s² * t * 0.87 * t)

• 4)    dx = 300ft  -  27.98ft/s² * t²

Igualamos ecuación 1) y ecuación 4):

• 60ft/s * t = 300ft  -  27.98ft/s² * t²

• 27.98ft/s² * t² + 60ft/s * t - 300ft = 0  ===> Resolvemos Ec. cuadrática:

• t1 = -4.52s  ,   t2 = 2.37s

Descartamos la solución t1 = -4.52s, pues, por ser un numero negativo no se aplica al problema planteado.

Entonces con esta información sustituimos en la ecuación 3)

• Vo =  32.16ft/s² * t

• Vo = 32.16ft/s² * 2.37s

• Vo = 76.22ft/s

Answer 2

La velocidad de la flecha para que alcance su blanco debe ser $V_{o}=23,32m/s$

¿Cómo determino la velocidad de un proyectil considerando su punto de llegada?

Antes de empezar con el procedimiento, es necesario convertir lo datos a unidades del Sistema Internacional de Unidades:

$V_{j} = 60ft/s = 18,3m/s$

$d_{0} = 100yd = 91,44m$

Necesitaremos formar un sistema de ecuaciones que nos relacione el movimiento del jabalí y el movimiento de la flecha al mismo tiempo.

Para esto, hallaremos las ecuaciones de posición respecto al tiempo del jabalí y de la flecha.

Ya que el jabalí se desplaza a velocidad constante, su ecuación es:

$x_{j} =V\cdot\ t\\x_{j} =(18,3m/s)\cdot\ t$

(ecuación I)

El movimiento de la flecha es en dos dimensiones, vertical y horizontal. El movimiento vertical es afectado por la gravedad y el movimiento horizontal es de velocidad constante. Su ecuación de posición horizontal respecto al tiempo es:

$x=V_{ox} \cdot\ t$

Ya que

$V_{ox} = V_{o}\cdot\ Cos(\alpha )$,

entonces

$x=V_{o}\cdot\ Cos(30 ) \cdot\ t$

Y, ya que el jabalí se encuentra originalmente a 91,44m del tirador, la ecuación de la flecha queda:

$x_{f} =91,44m-V_{o}\cdot\ Cos(30 ) \cdot\ t$

(ecuación II)

Sin embargo, $V_{o}$ sigue siendo una incógnita. Para esto, debemos despejarla de otra ecuación y sustituirla en la anterior.

La ecuación de velocidad vertical respecto al tiempo de la flecha es

$V_{y} =V_{oy} -g\cdot\ t$

Y considerando que la velocidad vertical en el punto más alto (punto máximo) de la trayectoria de un proyectil es 0, y que el tiempo para llegar a ese punto es la mitad del tiempo total de vuelo ($t_{max} = t/2$):

$V_{y} =V_{oy} -g\cdot\ t\\ \\ 0m/s =V_{o}\cdot\ Sen(30) -g\cdot\ t_{max} \\ \\ 0m/s =V_{o}\cdot\ Sen(30) -g\cdot\ (t/2)$

Despejando $V_{o}$:

$V_{o}\cdot\ Sen(30) =g\cdot\ (t/2)\\ \\ V_{o}=\frac{g\cdot\ (t/2)}{Sen(30)}$

Sustituyendo $V_{o}$ en la ecuación II y simplificando:

$x_{f} =91,44m-(\frac{g\cdot\ (t/2)}{Sen(30)})\cdot\ Cos(30 ) \cdot\ t\\ \\ x_{f} =91,44m-(\frac{g\cdot\ Cos(30 )}{2\cdot\ Sen(30)})\cdot\ t^{2}$

Ahora, ya que el jabalí y la flecha tienen la misma posición al momento del impacto, igualamos las ecuaciones de posición de ambos:

$\left \{ {{x_{j} =(18,3m/s)\cdot\ t} \atop {x_{f} =91,44m-(\frac{g\cdot\ Cos(30 )}{2\cdot\ Sen(30)})\cdot\ t^{2}}} \right. \\\\\\ (18,3m/s)\cdot\ t =91,44m-(\frac{g\cdot\ Cos(30 )}{2\cdot\ Sen(30)})\cdot\ t^{2}$

Reordenando los términos:

$(\frac{g\cdot\ Cos(30 )}{2\cdot\ Sen(30)})\cdot\ t^{2}+(18,3m/s)\cdot\ t -91,44m=0$

Resolviendo la ecuación cuadrática, y descartando el resultado negativo, hallamos el tiempo desde que sale la flecha hasta que impacta al jabalí:

$t=2,38s$

Sustituimos este valor de $t$ en la ecuación:

$V_{o}=\frac{g\cdot\ (t/2)}{Sen(30)}\\ \\ V_{o}=\frac{g\cdot\ (2,38s/2)}{Sen(30)}\\ \\ V_{o}=23,32m/s$

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