A un lado de un río de 1 km de ancho hay una central electrica y al otro lado, 5 km corriente arriba, una fábrica. Tender cable por tierra cuesta $240 el metro y tenderlo bajo el agua cuesta $400 el metro.
A) ¿ cuál es el tendido más económico desde la central eléctrica hasta la fabrica?
B) ¿ es igual minimizar la longitud del cable que su costo?
Respuestas
El costo minimo seria el tendido por debajo del agua hasta un punto B a una distancia de 0.75km y luego por tierra a la fabrica con un costo total de $ 1496:
- 1.25 km por agua
- 4.15 km por tierra
Si se minimiza la longitud de cable es decir tenderla a un distancia x diferente de 0.75km el costo aumenta
Explicación paso a paso:
Determinamos la función modelo tomando un punto B a cierta distancia X para evaluar el desplazamiento longitudinal del cable debajo del agua, luego de allí hasta la fabrica
f (x) = 240 ( L - x) + 400 √(1 + x²)
L = √(5km)²-(1km)² = 4.9 km
Derivamos e igualamos a 0 para obtener el valor de x
f'(x) = - 240 + 400x/ √(1 + x²) = 0
-240√(1 + x²) = -400x
x = 0.75
EL costo de tender el cable para x = 0 de C a A y A a la fabrica
$400*1km + $240L = $400 + $240L = $1576
x = L
$400√(1 + L²) = $2000.4
Si x = 0.75
240 ( L - 0.75) + 400 √(1 + 0.75²) = $1496
√(1 + 0.75²) = 1.25 km por agua
( 4.9 - 0.75) = 4.15 km por tierra
El costo minimo seria el tendido por debajo del agua hasta un punto B a una distancia de 0.75km y luego por tierra a la fabrica
Si se minimiza la longitud de cable es decir tenderla a un distancia x diferente de 0.75km el costo aumenta
