Question

1. desarrollar los siguientes problemas de trigonometria

A. en una via ferrea, con direccion norte-sur, un tren se mueve hacia el sur de 40 km/h. un pasajero estima que una antena de comunicacion lejana esta en la direccion N 100º E, 20 minutos mas tarde el angulo es N 40º. determine la distancia de la antena a la via ferrea.

B. Un pendulo de 50 cm de largo oscila 1.5º a cada lado de su posicion media. encuentre la longitud del arco que recorre en cada posicion.

C. el sol esta aproximadamente a 149.500.000 km de la tierra. desde un punto sobre la tierra, el diametro del sol subtiene un angulo de A. si el radio del sol es aproximadamente 695.990 km, hallar el valor de A

Answer 1

Para resolver estos problemas de trigonometría tengamos presente primero la geometría del contexto que se da para aplicar la función correspondiente.

A) En este problema se supone la vía férrea recta, si el tiempo entre 2 mediciones de ángulo es 20 minutos, el tren recorrió:

$d=v.t=40\frac{km}{h} .\frac{20'}{60'}= 13,3km$

Se forma el triángulo de la figura 1 donde 13,3km es la longitud del lado rojo que es la trayectoria del tren. El ángulo restante es:

$\alpha =180\°-80\°-40\°= 60\°$

El ángulo de 80° es el suplementario del ángulo de 100°. Aplico teorema del seno para hallar uno de los otros dos lados del triángulo:

$\frac{13,3km}{sen(60\°)}=\frac{a}{sen(40\°)}\\  a=13,3km\frac{sen(40\°)}{sen(60\°)}= 9,89km$

Esta longitud corresponde al lado de la izquierda en la imagen. Ahora para hallar la longitud buscada que es el segmento naranja, sabemos que:

$sen(40\°)=\frac{d}{9,89km}$

Donde d es la longitud buscada. Tengo:

$d=9,89km.sen(40\°)=9,89km.0,64=6,36km$

Con lo que la distancia de la vía a la antena es 6,36km

B) Si el péndulo oscila a 1,5° a cada lado respecto de su posición media, recorre una distancia angular total de 3°. Ahora bien, una circunferencia completa corresponde a un desplazamiento angular de 360°, con lo que la fracción de circunferencia recorrida por el péndulo es:

$l_t=2\pi r\\f=\frac{3}{360}=\frac{1}{120}$

$d=\frac{2\pi r}{120}=\frac{\pi r}{60}= \frac{\pi .50cm}{60} = 2,62cm$

Si lo que queremos es encontrar la función de longitud del arco en función del ángulo, podemos tomar como 0 el reposo. Luego la longitud de arco es:

$d=r.\alpha(rad)=r.\frac{\alpha.\pi }{180}$

Y $\alpha$ es la desviación angular respecto a la vertical.

C) En este caso tenemos la situación de la figura 2. Se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son la distancia al Sol y su radio. La función que vincula al cateto opuesto con el cateto adyacente del ángulo $\alpha$ (que es la mitad del ángulo que el diámetro del Sol subtiene desde un punto en la Tierra) es la tangente:

$\alpha =\frac{A}{2}=arctg(\frac{r_{sol}}{d_{sol}} )\\A=2arctg(\frac{r_{sol}}{d_{sol}})\\ A=2arctg(\frac{695990}{149500000})=2.0,267\°=0,533\°=0\°32'0,5''$

En astronomía esta medida se conoce como diámetro angular, resumiendo el ángulo A que el diámetro del Sol subtiene desde un punto en la Tierra es $0\°32'0,5''$