Dibuja una funcion continua que solo sea decreciente en el intervalo comprendido entre x = 0 y x =6
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Respuesta: F(x) = x³/108 - x²/12 + 2 es la función que voy a dibujar. Ver foto.
Explicación paso a paso:
Nos piden una función continua, es decir que pueda dibujarse de un solo trazo y que solo sea decreciente en un intervalo comprendido entre x= 0 y x=6.
Esto quiere decir que vamos a dibujar una función que tendrá un máximo en el punto X=0, que precisamente es donde la gráfica intercepta al eje Y y como no nos condicionan más, arbitrariamente voy a decidir que mi gráfica corte el eje Y precisamente en el punto (0, 2), en ese punto tiene que comenzar a decrecer hasta el punto X=6 que es el final del intervalo indicado en el enunciado y como no nos condicionan más yo decido que en ese punto mi función valdrá Y= F(6) = 1. Esto significa que en ese punto de la función habrá un mínimo ya que si solo es decreciente en el intervalo x= 0 y x= 6, quiere decir que a partir de ese punto la función vuelve a ser creciente.
Resumiendo: con la información dependiente del enunciado hemos definido dos puntos por donde tiene que pasar la función y además un máximo y un mínimo de la función.
Punto (0,2) Máximo, significa que la derivada de la función F'(0) = 0.
Punto (6,1) Mínimo, significa que la derivada de la función F'(6) = 0.
Podemos expresar esto con cuatro ecuaciones, así que podemos construir una función polinómica por lo menos de grado 3 que expresaremos de la forma:
F(x) = ax³ + bx² + cx + d (función)
F'(x) = 3ax² + 2bx + c (primera derivada)
Y como podemos establecer cuatro ecuaciones podemos resolver los coeficientes de esta función cuyo gráfico cumplirá la condición de ser continua y decreciente solo en el intervalo x=0 a x=6
Ecuación 1 {F(0) = 2 ; ax³ + bx² + cx + d = 2 ; a·0³ + b·0² + c·0 + d = 2
Ya tenemos un coeficiente d = 2
Ecuación 2 {F(6)= 1 ; ax³ + bx² + cx + d = 1 ; a·6³ + b·6² + c·6 + d = 1
sustituimos aquí el coeficiente conocido
Ecuación 2 {216a + 36b + 6c + 2 = 1
Ecuación 2 {216a + 36b + 6c = -1
Ecuación 3 {F'(0)= 0 ; 3ax² + 2bx + c = 0 ; 3a·0² + 2b·0 + c = 0
Ya tenemos otro coeficiente c = 0
Ecuación 4 {F'(6)= 0 ; 3ax² + 2bx + c = 0 ; 3a·6² + 2b·6 + c = 0
sustituimos aquí el coeficiente conocido
Ecuación 4 {108a + 12b = 0
Y en la ecuación 2 también vamos a sustituir el coeficiente c = 0
Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que vamos a resolver por el método de reducción para hallar los otros dos coeficientes.
Ecuación 2 {216a + 36b = -1}
Ecuación 4 {108a + 12b = 0}
Vamos a multiplicar la ecuación 4 por 3 y le vamos a restar la ecuación 2
3 x Ecuación 4 {108a + 12b = 0}
{3·108a + 3·12b = 0}
{324a + 36b = 0}
-Ecuación 2{216a + 36b = -1}
------------------------------------------
324a - 216a +36b - 36b = 0 -(-1)
108a = 1
a = 1/108 , ya tenemos otro coeficiente
Y sustituyendo este valor en la ecuación 4, hallamos el último coeficiente
Ecuación 4 {108a + 12b = 0}
108·1/108 + 12b = 0
1 + 12b = 0
12b = -1
b = -1/12 , ya tenemos el último coeficiente
Ya podemos completar la función polinómica que tiene el gráfico que cumple los requisitos del enunciado.
F(x) = ax³ + bx² + cx + d
F(x) = x³/108 - x²/12 + 0x + 2
F(x) = x³/108 - x²/12 + 2
Respuesta: F(x) = x³/108 - x²/12 + 2 es la función que voy a dibujar. Ver foto.
