Question

Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de orden superior homogéneas
2/3 y^´´´-10/3 y^´´+2y^´+6y=0

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas

2/3y^´´-20/3 y^´+50/3 y=20x+2

Answer 1

1)La primera de las ecuaciones diferenciales es a coeficientes constantes, se puede resolver proponiendo una solución:

$y=e^{\alpha t}$

De modo que:

$y'=\alpha e^{\alpha t}\\y''=\alpha^2 e^{\alpha t}\\y'''=\alpha^3 e^{\alpha t}$

Reemplazamos en la ecuación:

$\frac{2}{3} \alpha^3 e^{\alpha t}-\frac{10}{3}\alpha^2 e^{\alpha t}+2\alpha e^{\alpha t}+6e^{\alpha t}=0\\\frac{2}{3} \alpha^3-\frac{10}{3}\alpha^2+2\alpha+6=0$

Hay que hallar la constante de la exponencial para lo cual debemos hallar los ceros de esta ecuación auxiliar. Por tanteo tenemos:

$\alpha=-1$

Hacemos la división de polinomios por (x+1), la división de polinomios no la vamos a desarollar acá pero está mejor detallado en este enlace https://brainly.lat/tarea/12871394:

Y queda que:

$\frac{\frac{2}{3} \alpha^3-\frac{10}{3}\alpha^2+2\alpha+6}{x+1}=\frac{2}{3} \alpha^2-4\alpha+6$

Y resolvemos las otras dos raíces:

$\alpha=\frac{4 \±\sqrt{4^2-4.\frac{2}{3}.6} }{2.\frac{2}{3}} =3$

Resumiendo tenemos una raíz en -1, que da una solución en:

$y=e^{-x}$

y una raíz doble en 3, cuando la ecuación auxiliar tiene una raíz doble de valor m, se traduce en dos soluciones:

$y = e^{mx}\\y = xe^{mx}$

Por lo que la solución general de nuestra ecuación, expresada como una combinación lineal de las soluciones halladas, queda:

$y(x)=c_{1}e^{-x}+c_2e^{2x}+xc_3e^{2x}, c_1\epsilon R, c_2\epsilon R, c_3\epsilon R$

2)Ahora queda la segunda ecuación:

$\frac{2}{3}y''- \frac{20}{3}y' +\frac{50}{3}y =20x+2$

Esta es una ecuación no homogenea, la solución final es:

$y=y_c+y_p$

La solución complementaria yc es la que resuelve la ecuación homogenea:

$\frac{2}{3}y''- \frac{20}{3}y' +\frac{50}{3}y =0$

Con el procedimiento anterior hallamos la ecuación auxiliar y sus raíces:

$\frac{2}{3}\alpha^2- \frac{20}{3}\alpha +\frac{50}{3} =0\\\\\alpha=\frac{\frac{20}{3}\±\sqrt{(\frac{20}{3})^2-4.\frac{2}{3}\frac{50}{3}} }{2.\frac{2}{3}} \\\alpha=5$

Tiene una raíz doble en 5 por lo que es:

$y_c=c_1e^{5x}+c_1xe^{5x}$

Y ahora la solución particular, que debe satisfacer la ecuación no homogénea:

$\frac{2}{3}y''- \frac{20}{3}y' +\frac{50}{3}y =20x+2$

La hallamos por el método de los coeficientes indeterminados. Como tenemos en el miembro derecho un polinomio de grado 1 sabemos que yp tiene la forma:

$y_p=Ax+B$

Sus derivadas son:

$y'=A\\y''=0$

Queda:

$- \frac{20}{3}A +\frac{50}{3}(Ax+B) =20x+2\\- \frac{20}{3}A+\frac{50}{3}Ax+\frac{50}{3}B=20x+2\\20=\frac{50}{3}A\\2=\frac{50}{3}B- \frac{20}{3}A$

Despejando queda:

$A=\frac{6}{5}$

Reemplazo en la segunda ecuación:

$2=\frac{50}{3}B- \frac{20}{3}\frac{6}{5}\\2=\frac{50}{3}B- 8\\10=\frac{50}{3}B\\B=\frac{3}{5}$

Con lo que la solución general queda:

$y=c_1e^{5x}+c_2xe^{5x}+\frac{6}{5}x+\frac{3}{5}$