Question

para cercar tres lados de un terreno rectangular que colinda con la carretera ,se necesitan dos tipos de alambre ,para los lados laterales cuenta $12 el mdtro y $18 para el lado paralelo ala carretera ,determina las dimenciones necesatias para que el terreno temga la mayor area posible y que este pueda limitarsd com 5400

Answer 1

Las dimensiones necesarias para que el terreno tenga la mayor área posible son:  150  metros en el lado paralelo a la carretera y 112.5  metros en los laterales.  

Explicación paso a paso:  

La función objetivo es el área del terreno. Si llamamos  x  la longitud del lado paralelo a la carretera y  h  la longitud de los laterales; la función objetivo viene dada por:  

Área  =  A  =  xh  m²

Lo conveniente es que  A  esté expresada solo en función de una variable, por lo que usaremos el costo del material de cercado (ecuación auxiliar) para despejar h en función de x:  

$C=(18)(x)+(2)(12)h=5400\qquad \Rightarrow\qquad h=\frac{5400-18x}{24} =225-\frac{3x}{4}$  

por tanto la función objetivo es  

$A=x[225-\frac{3x}{4}]=225x-\frac{3x^2}{4}$  

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.  

$A’=225-\frac{3x}{2}$  

$A'=0 \quad \Rightarrow \quad 225-\frac{3x}{2}=0\quad \Rightarrow$  

$\bold{x=150}$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$A''=-\frac{3}{2}$  

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$A''_{150}=-\frac{3x}{2}<0\quad \Rightarrow \quad x=150$ es un máximo de la función A.  

Sustituimos el valor de la longitud del lado en la ecuación de cálculo del lateral  h:  

$\bold{h= 225-\frac{3[150]}{4}}\qquad \Rightarrow\qquad h=\frac{225}{2}=112.5$  

Las dimensiones necesarias para que el terreno tenga la mayor área posible son:  150  metros en el lado paralelo a la carretera y 112.5  metros en los laterales.