Question

En un cinescopio, los electrones con 3,0 × 10^(-15) J se mueven en línea recta desde la parte trasera del tubo hasta el frente. Ese cinescopio está cerca de un cable recto que conduce 12 A de corriente, en dirección paralela a la trayectoria de los electrones y a una distancia radial de 0,30 m de esa trayectoria 
a) ¿Cuál es la fuerza magnética sobre cada electrón?
b) ¿Cuál es la aceleración transversal correspondiente?​

Answer 1

Un cable conduciendo una corriente va a crear un campo magnético a su alrededor que va a perturbar la trayectoria de los electrones, si lo suponemos muy largo podemos aplicar la Ley de Ampere:

$\int\limits^{}_{C} {H} \, dl = i$

Donde H es la intensidad de campo magnético y C una curva que voy a elegir de manera que sea cerrada y encierre a la corriente i. La curva que elijo es una circunferencia concéntrica al cable y perpendicular al mismo, el campo magnético es el mismo a lo largo de la curva quedando:

$\int\limits^{}_{C} {H} \, dl =H\int\limits^{}_{C} {} \, dl=2\pi r.H =2\pi.r\frac{B}{\mu_0}  = i\\B=\frac{\mu_0.i}{2\pi.r}$

Donde $\mu_0=4\pi x10^{-7}$ es la permeabilidad magnética del vacío, y r la distancia al conductor. Reemplazando:

$B=\frac{4\pi x10^{-7}.12A}{2\pi.0,3m} = 8\mu T$

a) Ese campo magnético, cuyas líneas van a ser circunferencias concéntricas con el cable, de modo que va a ser perpendicular al mismo y a la trayectoria de los electrones, la dirección del vector B va a ser la de la imagen adjunta donde las X indican que el vector es "perpendicular al papel" y entrante y las O indican que el vector es saliente, este campo va a generar una fuerza sobre los electrones:

$F=qv x B=>|F|=qvB$

Si consideramos que toda la energía del electrón es cinética, la velocidad es:

$E_c=\frac{1}{2}mv^2 \\v=\sqrt{\frac{2E}{m_e}}= \sqrt{\frac{2.3x10^{-15}}{9,11x10^{-31}}}=2,566x10^4\frac{m}{s}$

La magnitud de la fuerza es:

$|F|=qvB=1,6x10^{-19}C.2,566x10^4\frac{m}{s}.8x10^{-6}T= 3,28x10^{-20}N$

Cuya dirección será perpendicular a la trayectoria y a las líneas de campo, por tanto tomará direcciones radiales al cable. Los electrones serán, en un primer momento (ya que esta fuerza luego irá cambiando de magnitud y dirección a medida que los electrones se desvíen de su trayectoria y cambie su distancia hacia el cable) desviados hacia trayectorias radiales al cable y dependiendo la posición del cable respecto al haz y el sentido de la corriente, este los atraerá hacia sí o los repelerá. Por tanto la fuerza solicitada queda:

$F=3,28x10^{-20}N$

b) La aceleración transversal que existirá en el primer instante se despeja de la segunda ley de Newton:

$F=ma\\a=\frac{F}{m}= \frac{3,28x10^{-20}}{9,11x10^{-31}}=3,61x10^{10}\frac{m}{s^2}$