Question

5. Resolver las siguientes ecuaciones de Segundo grado por completacion del trinomio
cuadrado perfecto:

0= x²- 13x-30

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

$\texttt{La ecuaci\'on es:}\\\\x^{2}-13x+30=0\\\textbf{Está ecuaci\'on podemos factorizar la}\\\texttt{por simple inspecci\'on,buscando dos n\'umeros}\\\texttt{que multiplicados nos den 30 y sumados nos den -13}\\\texttt{dichos n\'umeros son -3 y -10 porque:}\,\,(-3)(-10)=30\,\,\texttt{y}\,\,-3-10=-13\\\texttt{Por lo tanto:}\\\\x^{2}-13x+30=0\\(x-3)(x-10)=0\\\texttt{As\'i las ra\'ices son:}\\\\x_{1}=3\\x_{2}=10$

$\texttt{La otra opci\'on es factorizar la ecuaci\'on usando}\\\texttt{el m\'etodo de completar el cuadrado entonces:}\\\\x^{2}-13x+30=0\\\texttt{Transponemos el t\'ermino constante:}\\x^{2}-13x=-30\\\texttt{Sumamos el cuadrado de la mitad}\\\texttt{del segundo t\'ermino a ambos lados de la ecuaci\'on}\\x^{2}-13x+(\frac{13}{2})^{2}=-30+(\frac{13}{2})^{2}\\\texttt{Desarrollamos:}\\x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}\\\textbf{Factorizamos el primer miembro y simplificamos}\\\texttt{el segundo:}\\(x-\frac{13}{2})^{2}=\frac{49}{4}\\\texttt{As\'i la ecuaci\'on factorizada es:}\\x^{2}-13x+30=(x-\frac{13}{2})^{2}-\frac{49}{4}=0\\\texttt{Está forma es una diferencia de cuadrados, es decir:}\\\\a^{2}-b^{2}=(a-b)((a+b)\\\texttt{por tanto haciendo a=(x-13/2) y b=7/2 obtenemos:}\\\\(x-\frac{13}{2})^{2}-\frac{49}{4}=((x-\frac{13}{2})-\frac{7}{2})((x-\frac{13}{2})+\frac{7}{2})=0\\\textbf{Las ra\'ices son:}\\\\x_{1}=\frac{13}{2}+\frac{7}{2}=\frac{20}{2}=10\\x_{2}=\frac{13}{2}-\frac{7}{2}=\frac{6}{2}=3$