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El cuento El Aleph es relatado por un narrador en primera persona llamada "Borges", nombre que solo se descubre hasta la mitad del texto. Este Borges ficcional comienza relatando el estado de la cosas tras la muerte de Beatriz Viterbo, a la que había amado sin ser correspondido. A Borges solo le quedaba mantener intacto, lo más posible, el mundo y las costumbres asociadas a su relación con Beatriz.
Es así como se propone visitar la vieja casa de la familia de Beatriz en cada aniversario de ella. En esas visitas, el narrador establece una relación con el primo hermano de la mujer, llamado Carlos Argentino Daneri.
En la medida en que la costumbre avanza entre ambos, Daneri comparte con Borges una serie de poemas que ha hecho, con la esperanza de que este convenza a un importante escritor de prologarlos. Para Borges, son poemas caóticos y cacofónicos. Sin embargo, al sentirse comprometido le hace creer que hablará con el escritor.
Meses después, Borges recibe una llamada de Daneri que lo cambiará todo. Este le dice que la antigua casa será demolida. Es allí cuando revela su secreto: en el sótano se encuentra un Aleph, un punto desde el cual se puede ver todo el universo simultáneamente, y del que necesita para escribir.
En nombre del recuerdo de Beatriz, Borges concuerda con que la casa no puede ser demolida. Pero además, le intriga saber si en verdad existe el Aleph o si Carlos está loco.
Al llegar al lugar, Borges descubre que desde el escalón diecinueve del sótano puede verse el Aleph, una circunferencia de apenas unos centímetros de diámetro que le permite verlo todo.
El Aleph esconde un microcosmos infinito dentro de sí. Quien ve a través del Aleph, después no puede sorprenderse de nada, porque en un instante lo habrá visto todo. Solo resta esperar que la sombra del olvido pase, indefectiblemente, por la mente humana.
Daneri aborda a Borges para conocer su impresión: Borges prefiere guardar silencio. Sabe que ha sido tocado para siempre. Le recomienda a Carlos que deje la casa, se vaya al campo y cure allí sus males. Sale del lugar y nunca más vuelven a verse.
La casa finalmente es demolida y, tiempo después, Borges descubre que Carlos Argentino Daneri ha recibido un premio literario por su poema, mientras que él no ha logrado ni un voto.
De allí en adelante, a Borges solo le queda conjeturar: ¿lo que vieron Daneri y él fue un verdadero Aleph? Es así como Borges ficcional comienza a construir una serie de referencias y teorías sobre la existencia del Aleph.
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