Question

Obtengan las coordenadas de los vértices de la región del plano definida por las inecuaciones siguientes:
16) 2x-y ≤4; 7x+y ≥5;x+y≤5
17)x+2y≥4;x ≤10;y≤5
18) x-3y≥-6;x≤-2;y≥-1
19)y≤9-x;5y≥x;x≥0
20) x≥0;y≥0;2x+3y≤26

Answer 1

Estos ejercicios se resuelven de forma similar, despejo y de cada inecuación y hallo las intersecciones de los puntos que pertenecen al recinto.

16) Es la región que está:

• Por encima de y=2x-4
• Por encima de y=5-7x
• Por debajo de y=5-x

Si las graficamos vemos que el recinto solicitado es el triángulo que forman las 3 rectas. Por lo que necesitamos los 3 puntos de intersección.

Entre la primera y segunda recta:

$2x-4=5-7x\\9x=9\\x=1\\\\\frac{y+4}{2}=\frac{5-y}{7}\\  7x+28=10-2y\\18=-9y\\y=-2$

Entre la primera y la tercera:

$2x-4=5-x\\3x=9\\x=3\\\\\frac{y+4}{2}= 5-y\\y-4=10-2y\\3y=6\\y=2$

Entre la segunda y tercera:

$5-7x=5-x\\7x=x\\x=0\\\\5-y=\frac{5-y}{7}\\35-7y=5-y\\30=-6y\\y=-5$

Con lo que los tres vértices son:

$(1,-2);(3,2)(0,-5)$

17) El recinto está:

• Por encima de la recta $y=\frac{4-x}{2}$
• A la izquierda de x=10
• Por debajo de y=5

Otra vez es el triángulo formado por las 3 rectas, lo que se puede ver si lo graficamos. Obtenemos los cruces.

Entre la primera y la segunda como la segunda es una recta vertical basta con hallar la ordenada donde la primera recta la va a cortar:

$x=4-2y=10\\-6=-2y\\y=3$

Entre la primera y la tercera, como la tercera es una recta horizontal basta hallar la abscisa del corte con la primera recta:

$y=\frac{4-x}{2}=5\\4-x=10\\x=-6$

Entre la segunda y tercera sabemos que el cruce es (10,5). Con lo que quedan los vértices:

$(10,3);(-6,5);(10,5)$

18) Es similar al anterior, pero aquí el recinto está:

• Debajo de $y=\frac{x+6}{3}$
• A la izquierda de x=-2
• Arriba de y=-1

Si lo graficamos veremos que es el triángulo formado por las tres rectas. Se resuelve igual que el anterior, los cruces dan (-2,-1);(-9,-1) y (-2,4/3)

19) Es el recinto que está:

• Por debajo de la recta y=9-x
• Encima de $y=\frac{x}{5}$
• A la derecha de x=0

Si lo graficamos vemos que una vez más es el triángulo formado por las tres rectas. Hallamos las intersecciones:

Entre la primera y la segunda:

$9-x=\frac{x}{5} \\45-5x=x\\45=6x\\x=\frac{15}{2} \\\\5y=9-y\\6y=9\\y=\frac{3}{2}$

Los cruces con la recta vertical son las dos ordenadas al origen porque es x=0, estas son y=9 e y=0

Los puntos son:

$(\frac{15}{2},\frac{3}{2});(0,0);(0,9)$

20) Es similar al (18), es el recinto que está

• Por debajo de $y=\frac{26-2x}{3}$
• Por encila de y=0
• A la derecha de x=0

Si lo graficamos vemos que es el triángulo formado por las 3 rectas, por simple inspección vemos que uno de los vértices es el origen. Otro es la ordenada al origen de la primera recta:

$y=\frac{26-2.0}{3} =8$

El último es el cero de la recta al ser el punto de  cruce con x=0

$\frac{26-2x}{3}=0\\ 26=2x\\x=13$

Así los puntos buscados son (0,0);(13,0);(0,8)