Question

Problemas Límites y continuidad

Answer 1

2a) Recapitulando esta ecuación que describe el voltaje de descarga de un capacitor en el tiempo:

$v(t)=24V.e^{-0,2t}$

Donde v(t) es el voltaje en voltios y t el tiempo en segundos.

Pasamos a resolver esta parte del problema.

a) La descarga inicia cuando es t=0s. Por lo que el voltaje solicitado es.

$v(0)=24V.e^{-0,2.0}=24V.e^0=24V$

Con lo que al iniciar la descarga el capacitor tiene una tensión de 24V

b) A los 10 segundos de iniciarse la descarga tengo lo siguiente:

$v(0)=24V.e^{-0,2.10s}=24V.e^{-2}=24V.0,1353=3,25V$

Al cabo de 10 segundos descargándose el capacitor tiene una tensión de 3,25V.

c) Cuando el tiempo crece indefinidamente, significa que tenemos que estudiar el límite cuando el tiempo tiende a infinito.

$v(\infty)= \lim_{t \to \infty} 24Ve^{-0,2t}=\frac{24V}{\lim_{t \to \infty}e^{0,2t}} =0V$

Con lo que luego de mucho tiempo de iniciada la descarga el voltaje tiende a ser 0V.

2b) Para evaluar esta función que describe la corriente en un circuito eléctrico, primero vamos a plantear la condición de continuidad en un punto $x_0$ para toda función real.

$\lim_{x \to x^-_0} f(x)=\lim_{x \to x^+_0} f(x)=f(x_0)$

Lo que significa que la función debe estar definida en ese punto y además debe coincidir con el límite. Para que el límite exista es necesario que los límites laterales sean iguales. Siendo estos límites laterales, límites cuando la variable independiente tiende al punto bajo estudio pero evaluados separadamente para el caso en que la variable independiente se acerque a dicho punto a través de valores menores al mismo, o lo haga a través de valores mayores.

Yendo al caso puntual de este ejercicio, el primer tramo de la función tiene una discontinuidad de salto infinito en t=0 que no podemos salvar ya que el límite no existe en ese punto.

Los otros dos tramos al ser funciones polinómicas son continuas y están definidas en todos los reales, por lo que las discontinuidades se encuentran en los puntos de cambio de tramo. Por ende vamos a verificar la condición de continuidad en ellos.

En t=1:

El límite para valores menores que 1 se evalúa en el primer tramo, mientras que para valores mayores a 1 el límite se evalúa en el segundo. f(x_1) está en el primer tramo porque el 1 está incluido en el intervalo de este tramo.

$\lim_{x \to 1^-} f(x)=\lim_{x \to 1^+} f(x)=f(1)\\\lim_{x \to 1^-} a+\frac{1}{t} =\lim_{x \to 1^+} b-\frac{7}{2}a =a+\frac{1}{1} \\a+\frac{1}{1} =b-\frac{7}{2}a=a+\frac{1}{1}\\a+1=b-\frac{7}{2}a\\b-\frac{9}{2}a=1$

En t=3:

El límite para valores menores que 3 se evalúa en el segundo tramo, en tanto que se evalúa en el tercer tramo el límite para valores mayores que 3. El intervalo del segundo tramo incluye al 3 por lo que f(3) está en el segundo tramo.

$\lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3^+} f(x)=f(3)\\\lim_{x \to 3^-} b-\frac{7}{2}a=\lim_{x \to 3^+} -t^2+2b=b-\frac{7}{2}a\\b-\frac{7}{2}a=-3^2+2b=b-\frac{7}{2}a\\b-\frac{7}{2}a=-9+2b\\b+\frac{7}{2}a=9$

Me queda el siguiente sistema de ecuaciones:

$b-\frac{9}{2}a=1\\b+\frac{7}{2}a=9$

El cual se puede resolver por cualquier método, aquí voy a usar el método de la reducción consistente en obtener una ecuación de una incógnita mediante combinaciones lineales entre las ecuaciones provistas.

Restando la primera ecuación a la segunda miembro a miembro me queda:

$b-\frac{9}{2}a-b-\frac{7}{2}a=-8\\-\frac{16}{2}a=-8\\a=1$

Y ahora haciendo la siguiente operación entre las ecuaciones miembro a miembro:

$7Ec_1+9Ec_2\\\\7b-\frac{63}{2}a+9b+\frac{63}{2}a=7.1+9.9\\16b=88\\b=\frac{11}{2}$

Con lo que queda que los valores que hacen continua a la función corriente eléctrica son $a=1; b=\frac{11}{2}$