Question

Cuatro masas iguales se encuentran en los vértices de un tetraedro regular de lado "a". Encuentre la posición del centro de masa si el tetraedro descansa sobre una de sus caras triangulares.

Answer 1

Un tetraedro regular es un cuerpo de cuatro caras y cuatro vértices, en el cual todas las caras son triángulos equiláteros. La forma que toma es la de una pirámide triangular. Si tomamos como punto de referencia la proyección de la cúspide sobre la base. Este punto equidista de los tres vértices de la base. Si miramos la figura adjunta, la altura del triángulo es:

$h=a.sen(60\°)=m+m.sen(30\°)\\a.\frac{\sqrt{3}}{2} =m(1+0,5)\\a.\sqrt{3}=3m\\m=a.\frac{\sqrt{3}}{3}$

Esa va a ser la distancia desde el punto de referencia hasta las masas ubicadas en su base, luego la distancia del origen a la cúspide es, siendo ht la altura de cada una de las caras laterales:

$h=h_t.sen(60\°)=a.sen(60\°).sen(60\°)=\frac{3}{4} a$

Ahora la ecuación del centro de masas es:

$r_{cm}= \frac{\Sigma^n_{i=1}m_i.r_i}{\Sigma^n_{i=1}m_i}$

Donde las $r_i$ son los vectores distancia al punto de referencia y las $m_i$ son las masas. Tenemos:

$m_1=m_2=m_3=m_4=m$

Y los vectores distancia si los representamos en un plano cartesiano con origen en el punto de referencia y una de las masas sobre el eje (sabiendo además que entre ellos forman ángulos de 120°) son:

$r_1=0i+a.\frac{\sqrt{3}}{3}j+0k\\r_2=a.\frac{\sqrt{3}}{3}; -30\°=a.\frac{\sqrt{3}}{3}.cos(-30\°)i+a.\frac{\sqrt{3}}{3}.sen(-30\°)j=a(\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{6}j)\\r_3=a.\frac{\sqrt{3}}{3}; -150\°=a.\frac{\sqrt{3}}{3}.cos(-150\°)i+a.\frac{\sqrt{3}}{3}.sen(-150\°)j=a(-\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{6}j)\\r_4=0i+0j+\frac{3}{4}ak$

Desarrollamos la ecuación del centro de masas:

$r_{cm}=\frac{mr_1+mr_2+m_r3+m_r4}{4m} =\frac{1}{4} (r_1+r_2+r_3+r_4)\\r_{cm}=\frac{1}{4}[a(0i+\frac{\sqrt{3}}{3}j+0k)+a(\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{6}j+0k)+a(-\frac{1}{2}i-\frac{\sqrt{3}}{6}j+0k)+a(0i+0j+\frac{3}{4} k)]\\r_{cm}=\frac{a}{4}(0i+0j+\frac{3}{4}k ) =0i+0j+\frac{3a}{16}k$

Con lo que el centro de masas está en la línea vertical que pasa por la cúspide, $\frac{3a}{16}$ por encima del plano de apoyo.