analiza la función f(x)=2/x+1 y responde verdadero o falso según corresponda.
a. la gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,2).
b. el dominio de la función es R
c. el rango de la función es R- {0}
d. la función no tiene inversa
e. la función es decreciente.
Respuestas
Respuesta:
A) verdadero b) falso c) verdadero d) falso e) verdadero
Explicación paso a paso:
a. la gráfica de la función intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0,2).
Haces x=0 en la función, cual te da y=2, el eje "y" es llamada el eje de ordenadas, y en este punto es intersectada por la gráfica, lo puedes comprobar dibujando la gráfica de la funcion .
B) el dominio de la función seran los valores que la función puede tomar a lo largo del eje x. Pero si observas tienes una función racional con la variable x en el denominador. Tiene una restricción ya que el denominador debe ser distinto de cero porque es una indeterminacion, no puedes dividir entre cero. Si estas viendo limites te darás cuenta que dividir entre cero te da infinito.
Por lo tanto haces que el denominador sea diferente de cero o lo que es lo mismo igual a cero y luego el numero para x sera la restriccion del dominio:
x+1=0
x=-1
Así,
Dom f(x) : R -{-1}
(Todos los reales a excepción del -1)
C)si dibujas las gráfica de la función, te darás que la asíntota vertical es x=-1( el dominio te indica este punto critico, esta asíntota vertical, en el que la gráfica se aproxima pero nunca la toca). Y la asíntota horizontal que es y=0. Si ves la gráfica desde arriba te das cuenta que la gráfica toma todos los valores menos el 0. Por lo tanto el rango sera todos los reales excepto el 0.
D) toda función inyectiva tiene inversa. Puedes comprobar que es inyectiva solo con ver la grafica, trazando una linea horizontal y ver si esta no cruza la gráfica en mas de una ocación, este es el criterio de la linea horizontal. Por ejemplo en la gráfica de la parábola x^2 al trazar una linea horizontal esta cruza la gráfica dos veces, por lo que no es inyectiva, y si cortamos la gráfica en la mitad pues esta si es inyectiva ya que cruza la gráfica una sola vez.
Otro método para saber si es inyectiva y por lo tanto tiene inversa:
Una función es inyectiva si para todo x1,x2 E DF se tiene que si x1diferente de x2 entonces f(x1) diferente de f(x2). Lo anterior también es equivalente a: si x1=x2 entonces f(x1)=f(x2)
f(x1) = f(x2)
2/(x1+1) = 2/(x2+1)
2(x2+1) = 2(x1+1)
2x2+2= 2x2+2 ------> eliminando x2=x1 que es a lo queríamos llegar. La función es inyectiva por lo tanto tiene inversa.
D) la función es decreciente, solo dándole valores a x te das cuenta que mientras mas grande sea el numero del denominador, menor sera el resultado. También la primera derivada de la función te dice si es decreciente o no.
Derivando la función te queda -2/(x+1)^2 , lo cual es siempre negativo, aunque el denominador va a ser siempre positivo porque esta elevado al cuadrado, el signo menos afecta a toda la función lo cual siempre nos dará números menores que cero (numeros negativos). Al ser la función menor a 0 nos dice que la función es decreciente, caso contrario si es mayor a cero la función seria creciente.