un recipiente tiene forma caja rectangular (sin tapa), cuya base tiene un largo igual al triple de su ancho y su capacidad es 500cm3 ¿cuàles deben ser las dimensiones de la caja, se quiere que se utilice la menor cantidad de material para elaborarla?
Respuestas
La altura es de: 4.54280 cm, el ancho de la base: 6.05707 cm, y largo de la base: 18.17121 cm
El volumen de una caja sin tapa: es el producto de las tres dimensiones: tenemos que el ancho de la base es "x", el largo de la base es el triple de su ancho por lo tanto es "3x" y la altura la denominaremos "h", por lo tanto:
V = x*3x*h = 3x²*h = 500 cm³
Se quiere minimizar el área total: que seria la suma del área de la base, más el área de sus cuatro caras laterales, dos caras miden la altura por el alto y las otras dos la altura por el ancho
AT = x*3x + 2xh + 2*(3x)*h
AT = 3x² + 2xh + 6xh
AT = 3x² + 8xh
minimizar 3x² + 8xh S.A. 3x²*h = 500 cm³
De la condición: despejamos h = 500 cm³/3x²
Sustituimos en el área total:
3x² + 8x*500 cm³/3x² = 3x² + 4000/3x
Se quiere minimizar 3x² + 4000/3x
Derivamos:
6x - 4000/3x²
Igualamos a cero:
6x - 4000/3x² = 0
6x = 4000/3x²
18x³ = 4000
x³ = 4000/18 = 222.2222
x = ∛222.2222 = 6.05707 cm
Sustituyo en "h":
h = 500 cm³/3*(6.05707 cm)² = 4.54280 cm
3x = 6.05707 cm*3 = 18.17121 cm