Question

1.b. Continuidad
En un circuito eléctrico es necesario garantizar que el voltaje de alimentación sea continuo. El voltaje del circuito está dado por la siguiente función:
v(t)={(t^2+2-a si 0 < t ≤2
b-8a si 2< t ≤6
b/(t-1) si t>6)}
Calcule los valores de a y b que hacen que el voltaje sea continuo.

Answer 1

Para determinar que esta función voltaje de alimentación tenga continuidad en un punto $x=x_0$, en ese punto debe cumplirse que:

$\lim_{x \to x^-_0} f(x) = \lim_{x \to x^+_0} f(x) =f(x)$

El límite de la función cuando x tiende a $x_0$ significa que voy a evaluar la función en un entorno de ese punto. El primer miembro es el límite lateral para valores menores a $x_0$ y el segundo es el límite lateral para valores mayores de $x_0$, con lo que la expresión anterior dice que la función debe estar definida en ese punto y además los límites laterales deben ser iguales y coincidir con el valor de la función en ese punto.

En cuanto al problema en particular. Los dos primeros tramos al ser polinómicos están definidos y son continuos en todos los reales. La función del tercer tramo tiene una discontinuidad de salto infinito en t=1 porque ese valor anula el denominador pero no hay discontinuidades en el tramo de interés que es t>6. Por lo que las posibles discontinuidades están solo en los puntos de cambio de tramo. Ahí tenemos que aplicar la condición de continuidad:

En t=2:

Para valores menores que t=2 la función sigue el primer tramo, para valores mayores evalúo el segundo y se que t=2 tiene imagen en el primer tramo.

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) =f(2)\\\lim_{x \to 2^-} t^2+2-a = \lim_{x \to 2^+} b-8a =2^2-2+a\\2+a = b-8a =2+a\\b-7a=2$

En t=6:

Para valores de t menores a 6 la función sigue el segundo tramo y para valores de t mayores a 6 elo tercero. t=6 tiene imagen en el segundo tramo:

$\lim_{x \to 6^-} f(x) = \lim_{x \to 6^+} f(x) =f(6)\\\lim_{x \to 6^-} b-8a = \lim_{x \to 6^+} \frac{b}{t-1}  =b-8a\\b-8a=\frac{b}{6-1}=b-8a\\\frac{b}{5}=b-8a\\b=5b-40a\\4b-40a=0\\b-10a=0$

Me queda un sistema de ecuaciones que puedo resolver por cualquier método, aquí voy a usar el método de la reducción, que consiste en, mediante combinaciones lineales entre las ecuaciones, obtener una ecuación de una sola variable:

$b-7a=2\\b-10a=0$

Resto a la primera ecuación la segunda:

$b-7a-b+10a=2\\3a=2\\a=\frac{2}{3}$

Continúo resolviendo por el método de reducción:

$10Ec_1-7Ec_2\\\\10b-70a=20\\7b-70a=0\\\\10b-7b-70a+70a=20\\3b=20\\b=\frac{20}{3}$

Resumiendo, los valores de a y b son:

$a=\frac{2}{3}; b=\frac{20}{3}$