Question

Un planeta gira alrededor de una estrella siguiendo una orbita elíptica. La estrella está situada en uno de los focos. Además, la excentricidad es de 0.2 y la distancia minina es 40x10^6. Calcular la distancia máxima y la ecuación de dicha trayectoria

Answer 1

Empecemos la resolución definiendo la ecuación de una elipse:

$\frac{(x-x_{0})^{2} }{a^{2} } +\frac{(y-y_{0})^{2} }{b^{2} } =1$

Siendo a y b los dos ejes de la elipse y (x0,y0) las coordenadas de su centro. Si el centro es el origen tenemos que:

$\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1$

Y la excentricidad es:

$e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}} }$

En este link https://brainly.lat/tarea/9962111 se analiza la ecuación de la elipse, al igual que en este otro https://brainly.lat/tarea/5926064.

Observese aquí que si los ejes son iguales la excentricidad es cero y la elipse degenera en una circunferencia. Si la estrella está en uno de los focos y el periastro es $40x10^{6}m=4x10^{7}m$, esta es la mínima distancia desde el foco a la curva y si suponemos que el eje focal está en el eje x, tenemos que:

$y=0\\x=c+p = c+4x10^{7}$

Siendo c la distancia de centro (que dijimos que está en el origen) a uno de los focos y p el periastro.

$\frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1\\\frac{x^{2}}{a^{2}}=1\\\frac{(c+p)^{2}}{a^{2}}=1\\(c+p)^{2}}={a^{2}$

Tenemos que:

$e=\frac{c}{a}$

Queda:

$(p+c)^{2}=a^{2}\\(p+ae)^{2}=a^{2}\\p^{2}+2pae+a^{2}e^{2}=a^{2}\\(4x10^{7})^{2} + 2.0,2.4x10^{7}.a + 0,04a^{2}=a^{2}\\1,6x10^{15}+1,6x10^{7}a -0,96a^{2}=0$

Resolvemos entonces la ecuación cuadrática.

$a=\frac{-1,6x10^{7}\±\sqrt{(1,6x10^{7})^{2}-4.(-0,96).1,6x10^{15}} }{-2.0,96} =\\a=\frac{-1,6x10^{7}\±\sqrt{2,56x10^{14}+6,14x10^{15}} }{-1,92}\\a=\frac{-1,6x10^{7}\±\sqrt{6,4x10^{15}} }{-1,92} = 5x10^7$

Tomé solo el valor positivo que puede tomar a ya que el otro al ser negativo no tiene sentido. Ahora queda hallar B despejándolo de la ecuación de la excentricidad:

$e=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}} } \\0,2=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}} }\\0,04=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}\\\frac{b^{2}}{a^{2}}=0,96\\b=\sqrt{0,96a^{2}} = 4,9x10^{7}$

Nos queda que la ecuación de la trayectoria es:

$\frac{x^{2}}{(5x10^{7})^{2}} +\frac{y^{2}}{(4,9x10^{7})^{2}} =1$

Lo que nos dice que $5x10^{7}$ es el semieje mayor, la distancia del centro a la elipse en la dirección del eje focal, que también es la máxima distancia del centro a la elipse. Entonces la distancia del foco al centro es:

$c=a-p = 5x10^{7}-4x10^{7}=1x10^{7}$

Para calcular la distancia máxima o apoastro sabiendo que la estrella está en un foco y la distancia focal es 2c debido a que los focos equidistan del centro, esta es:

$ap=2c+p = 2x10^7 + 4x10^7 = 6x10^7$

Esta es la distancia máxima del planeta a su sol.