Question

l. Distribución Normal: Uno de los graves problemas que se enfrentan actualmente es la falta de agua y la contaminación de los acuíferos. De acuerdo con cifras de la semarnat (Secretaría del Medio Ambiente y Recursos Naturales) a través de conagua (Estadísticas del Agua en México, 2010, México, 2010), de 2002 a 2008 en el país las descargas residuales tuvieron una media de 7.795 km /año con una desviación estándar de 0.2311 km /año (1 km equivale a mil millones de metros cúbicos). Suponiendo que las descargas residuales se distribuyen normalmente, encuentra la probabilidad de que, en un año, las descargas residuales sean: 1. Menores a 7.5 km 2. Estén entre 7.5 y 7.9 km 3. ¿A partir de qué valor se tiene el 10% más bajo de descargas residuales?

Answer 1

Solucionando el planteamiento tenemos:

La probabilidad de que las descargas residuales sean:

1. Menores a 7.5 km: 0,1002.

2. Estén entre 7.5 y 7.9 km: 0,5734.

3. A partir de 7,90 se tiene el 10% más bajo de descargas residuales.

◘Desarrollo:

Datos:

μ= 7795

σ= 0,2311

Empleamos la distribución normal estandarizada, esto es N(0,1). Entonces la variable X la denotamos por Z:

Z= X - μ/σ          

           

Donde:

σ=desviación

μ=media

X= variable aleatoria

X≈N (μ= 7795; σ= 0,2311)

a) La probabilidad de que las descargas residuales sean menores a 7.5 km

$P(X<7,5)= P(Z<\frac{7,5-7,795}{0,2311})$

$P(X<7,5)= P(Z<-1,28)$

$P(X<7,5)= 0,1002$

2.  La probabilidad de que las descargas residuales estén entre 7.5 y 7.9 km

$P(7,5<X<7,9)= P(X<7,9)-P(X<7,5)$

$P(7,5<X<7,9)= P(Z<\frac{7,9-7,795}{0,2311})-P(Z<\frac{7,5-7,795}{0,2311})$

$P(7,5<X<7,9)= P(Z<0,45)-P(Z<-1,28)$

$P(7,5<X<7,9)=0,6736-0,1002$

$P(7,5<X<7,9)=0,5734$

3. ¿A partir de qué valor se tiene el 10% más bajo de descargas residuales?

El 10% más bajo es la probabilidad de tener una descarga residual de -0,1. En la tabla de distribución normal el valor de Z para una probabilidad de 0,1 es de 0,4601. El valor que representa dicho % sería el siguiente:

Z= X - μ/σ        

0,4601= x-7,795/0,2311

0,4601*0,2311+7,795= x

x= 7,90