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Answer 1

El tema puede llamarse: Operaciones con conjuntos. Leyes de Morgan.  

Explicación paso a paso:  

Vamos a comprobar las llamadas Leyes de Morgan que relacionan los conjuntos complemento de las operaciones básicas unión e intersección:

$\bold{\overline{A \cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}}$

$\bold{\overline{A \cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}}$

Previamente calculamos los conjuntos complemento de A y B; así como su unión e intersección:

Complemento de A: es el conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto A.

$\bold{\overline{A}=U-A=x\in[0, \frac{1}{2}]\cup(1, 2]}$

Complemento de B: es el conjunto formado por todos los elementos del universo que no pertenecen al conjunto B.

$\bold{\overline{B}=U-B=x\in[0, \frac{1}{4})\cup[\frac{3}{2}, 2]}$

Intersección de los conjuntos A y B: es el conjunto formado por todos los elementos comunes a ambos conjuntos; es decir, aquellos que se encuentran tanto en A como en B.

$\bold{\overline{A \cap B}= A=x\in( \frac{1}{2}, 1]}$

Unión de los conjuntos A y B: es el conjunto formado por todos los elementos presentes en A o en B.

$\bold{\overline{A \cup B}=A+B- A \cap B =B=x\in[\frac{1}{4}, \frac{3}{2})}$

Comprobemos las Leyes de Morgan:

$\bold { a) \quad \overline{ A \cup B}}$

Se pide hallar el conjunto complemento de la unión de A con B, eso es el universo menos la unión de A con B; es decir todos los elementos del universo que no pertenecen ni al conjunto A ni al conjunto B, o sea, los elementos comunes a los complementos de A y B o mejor dicho los elementos del conjunto intersección del complemento de A con el complemento de B.

$\overline{ A \cup B}=U- A \cup B =\left\{ x\in[0, 2]\right\} -\left\{ x\in[\frac{1}{4}, \frac{3}{2})}\right\} = x\in[0, \frac{1}{4})\cup [\frac{3}{2}, 2]$

$\bold{ b) \quad \overline{A}\cap\overline{B}}$

$\overline{A}\cap\overline{B}=\left\{ x\in[0, \frac{1}{2}]\cup(1, 2]}\right\} \cap \left\{x\in[0, \frac{1}{4})\cup[\frac{3}{2}, 2]}\right\} =x\in[0, \frac{1}{4})\cup [\frac{3}{2}, 2]$

$\bold{ c) \quad \overline{ A \cap B}}$  

Se pide hallar el conjunto complemento de la intersección de A con B, eso es el universo menos la intersección de A con B; es decir todos los elementos del universo que no pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B, o sea, los elementos que pueden estar en el complemento de A o en el de B o mejor dicho los elementos del conjunto unión del complemento de A con el complemento de B.

$\overline{ A \cap B}=U- A \cap B =\left\{ x\in[0, 2]}\right\} -\left\{ x\in( \frac{1}{2}, 1]}\right\} = x\in[0, \frac{1}{2}] \cup(1, 2]$

$\bold{ d) \quad \overline{A}\cup\overline{B}}$  

$\overline{A}\cup\overline{B}=\left\{ x\in[0, \frac{1}{2}]\cup(1, 2]}\right\} \cup \left\{x\in[0, \frac{1}{4})\cup[\frac{3}{2}, 2]}\right\} = x\in[0, \frac{1}{2}] \cup(1, 2]$