Question

Determine el número de maneras de pintar 10 habitaciones de tal manera que dos sean de color palo rosa, dos verdes claros, tres amarillas, y tres blancos huesos.

Answer 1

Tarea:

Determine el número de maneras de pintar 10 habitaciones de tal manera que dos sean de color palo rosa, dos verdes claros, tres amarillas, y tres blancos huesos.

Respuesta:

25.200 maneras.

Explicación paso a paso:

Es un ejercicio de combinatoria.

El modelo combinatorio a utilizar aquí es:

Permutaciones con repetición de "m" elementos pero teniendo en cuenta que cada uno de los elementos se repite una cantidad concreta de veces y deduciendo que son permutaciones porque se emplean todos los elementos, es decir, cada manera de combinar los colores se aplica a las 10 habitaciones.

Aquí los elementos a que se hace referencia NO son las 10 habitaciones sino los 4 colores distintos con que se pintarán esas habitaciones.

Aclarado ese punto, diremos que el primer elemento se repite "a" veces, el segundo se repite "b" veces, el tercero se repite "c" veces, el cuarto se repite "d" veces, de forma que la suma de las veces que se repiten nos dará el valor de "n" que representa en este caso el nº de habitaciones (10), osea:  

a+b+c+d = 2+2+3+3 = n = 10

Con eso claro podemos decir que :

• el primer elemento corresponde al color palo-rosa que se repetirá "a=2" veces porque hay que pintar dos habitaciones de ese color
• el segundo elemento corresponde al color verde-claro que también se repetirá "b=2" veces por el mismo motivo anterior.
• el tercer elemento será el color amarillo y se repetirá "c=3" veces
• el cuarto elemento será el color blanco-hueso y se repetirá también "d=3" veces.

Se acude a la fórmula específica de este tipo de permutación que dice:

$PR_n^{\ a,b,c, d...} =\dfrac{P_n}{a!*b!*c!*d!}\ ...\ sustituyendo\ valores\ ...\\ \\ \\ PR_{10}^\ 2,2,3,3} =\dfrac{10!}{2!*2!*3!*3!}=\dfrac{10*9*8*7*6*5*4*3!}{2*2*3*2*3!} =\dfrac{604800}{24} = 25200$