1.b. Continuidad En la construcción de una hidroeléctrica el agua desde el embalse se lleva hasta la casa de máquinas a través de túneles y tuberías exteriores, si el trazado de dos tramos de tuberías y el trazado de un túnel están dados por las siguientes funciones: f(x)={█(x+2a si x<-2@3ax+b si-2≤x≤1@6x-2b si x≥1)┤ Calcule los valores de a y b que hacen que el trazado total sea continuo.
Respuestas
Los valores de a y b debe ser 12/27 y 14/9 respectivamente para que el trazado total de las tuberías y el túnel sea continuo, esto en la construcción de la hidroeléctrica.
Explicación:
Para que la función sea continua se debe cumplir que:
f(a) = lim(x→a) f(x)
Es decir, la función evaluada en el punto de estudio debe ser igual al limite de la función cuando tiende al punto de estudio.
En este caso los puntos donde hay discontinuidad son:
- x = -2
- x = 1
Por tanto, tendremos dos condiciones:
- f(-2) = lim(x→ -2) f(x)
- f(1) = lim(x→ 1) f(x)
Buscamos estas dos condiciones y tenemos que:
(3)a(-2) + b= lim(x→ -2) (x + 2a)
-6a + b = -2 + 2a
--------------------------------------------
(3)a(1) + b = lim(x→ 1) (6x - 2b)
3a + b = 6 - 2b
Tenemos dos ecuaciones y dos incógnitas:
- -6a + b = -2 + 2a
- 3a + b = 6 - 2b
Despejamos una variable de la primera:
b = -2 + 2a +6a
b = -2 + 8a
Sustituimos en la segunda:
3a + (-2 + 8a) = 6 - 2·(-2 + 8a)
3a -2 +8a = 6 + 4 - 16a
27a = 12
a = 12/27
Buscamos la otra variable:
b = -2 + 8·(12/27)
b = 14/9
Por tanto, los valores de a y b debe ser 12/27 y 14/9 respectivamente para que el trazado total de las tuberías y el túnel sea continuo, esto en la construcción de la hidroeléctrica.
NOTA: la función se evalúa se tiene el símbolo menor o mayor igual que, y el limite se saca en la función donde esta el menor o mayor que.
