Question

Me pueden ayudar en el 11, 17 ,26 y 27 porfaaa

Answer 1

Bien, vamos a analizar cada uno de los ejercicios:

Ejercicio 11:

Para que un polinomio se pueda factorizar debe tener todas sus raíces reales, de modo que se cumpla que:

$p(x)=a(x-a_{1})(x-a_{2})......(x-a_{n})$

vamos a plantearlo:

3y^{2}-8y+k=0

Las raíces son:

k=$y=\frac{8+/-\sqrt{8^{2}-4.3.k} }{2.3} =\frac{8+/-\sqrt{64-12k} }{6}$

Bien, para que tenga raíces reales y sea factorizable debemos cumplir que

$64\geq 12k\\k\leq \frac{64}{12} =\frac{16}{3}$

Si k tiene ese valor el polinomio tendrá una raíz doble en:

$y=\frac{8+/-\sqrt{64-4.3.\frac{16}{3} } }{6} =\frac{4}{3}$

Si k tiene este valor límite tendremos una raíz doble en 4/3 y la factorización será:

$p(x)=3(x-\frac{4}{3} )^{2}$

Pero si queremos que quede una expresión solo con números enteros, necesitamos que una de las raíces lo sea, necesitaríamos que alguno de los valores de:

$8+/-\sqrt{64-4.3.k }$

sea múltiplo de 6, y el otro de 2. Podemos probar con que uno de los valores sea 6:

$8+/-\sqrt{64-4.3.k } =6\\\sqrt{64-4.3.k }=2\\4.3k=60\\k=5.$

Con ese valor las raíces serán:

$y=\frac{8+/-\sqrt{64-4.3.5 } }{6} =\frac{8+/-2}{6}\\y=1\\y=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$

Nos queda;

$p(y)=3(y-1)(y-\frac{5}{3} )=(y-1)(3y-5)$

Con lo que el valor del casillero es 5.

17) Acá no hay factor común ya que el coeficiente que acompaña al término de mayor grado es 1, para hallar las raíces hacemos:

$a^{4}-17a^{3}+ 3a^{2}=0$

Si sacamos un factor común $a^{2}$ tenemos:

$a^{2}(a^{2}-17a+3)=0$

Con lo que hay una raíz doble en cero

Las otras dos raíces son las del polinomio cuadrático:

$a^{2}-17a+3=0$

Hallamos las raíces:

$a=\frac{17 +/- \sqrt{17^{2}-4.1.3} }{2.1}=\frac{17+/-\sqrt{289-12} }{2} = \\a= \frac{17}{2} +\frac{\sqrt{277} }{2} \\a= \frac{17}{2} -\frac{\sqrt{277} }{2}$

Con lo que la factorización queda:

$p(x)=a^{2} (a-\frac{17}{2} -\frac{\sqrt{277} }{2} )(a-\frac{17}{2} +\frac{\sqrt{277} }{2} )$

26)

En la tabla tengo estos valores:

$8z^{2}; 20z; 22z; 55$

Ya sabemos que el polinomio tendrá la forma:

$p(x)=8(z-a_{1})(z-a_{2})$

Para que sea factorizable tengo que tener ambas raíces reales, siendo un polinomio de grado 2, por la ecuación de resolución de ecuaciones cuadráticas tengo:

$b^{2}-4ac \geq 0$

siendo a el término cuadrático, b el término lineal y c el término independiente.

$b^{2}-4.8.55\geq 0\\b^{2}\geq 1760\\b\geq 41,95$

Con lo que la única forma de que el polinomio sea factorizable es sumando los dos términos lineales que nos dan:

$p(z)=8z^{2}+20z+22z+55=8z^{2}+42z+55$

Factorizando:

$p(z)=8(z^{2}+\frac{21}{4}z+\frac{55}{8})$

Las raíces del polinomio cuadrático del paréntesis deberían ser las mismas que las del polinomio original:

$z=\frac{-42+/-\sqrt{42^{2}-4.55.8} }{2.8} =\frac{-42+/-2}{16} \\z=-\frac{11}{4} \\z=-\frac{5}{2}$

$p(z)=8(z+\frac{11}{4})(z+\frac{5}{2})$

$p(z)=(4z+22)(2z+5)$

27) Aquí hay que factorizar el polinomio área:

$20x^{2}+12x+1$

Hallamos las raíces:

$x=\frac{-12+/-\sqrt{12^{2}-4.20.1} }{2.20}=\frac{-12+/-\sqrt{64} }{40} \\x=-\frac{1}{10}\\x=-\frac{1}{2}$

Nos queda el polinomio:

$p(x)=20(x+\frac{1}{10} )(x+\frac{1}{2} )=(10x+1)(2x+1)$

Con lo que la D es la respuesta correcta.