Question

La imagen presenta dos masas m1= 3,90 x 103 gr y m2 = 5,49 x 103 gr unidas por una cuerda que pasa por una polea sin fricción y masa despreciable, la masa m1 se encuentra sobre una superficie rugosa.
Realice un diagrama de fuerzas para cada masa.
A. Exprese la aceleración del sistema en términos de las masas y el coeficiente de fricción cinética μ_k.
B. Halle el valor de la aceleración y tome a μ_k=0.230
C. Si el bloque m1 se encuentra a una distancia x=0,769 m. ¿Cuánto tardará en llegar a la esquina de la mesa?
D. ¿Cuál debería ser la masa mínima de m1 para que el sistema quede en reposo? Asuma el coeficiente de fricción estática como μ_s=0.230

Answer 1

Este ejercicio donde hay dos masas vinculadas por un sistema de polea se inicia planteando el sistema de fuerzas para los dos cuerpos involucrados, en el primero actua el peso de la masa y la tensión:

$m_2g-T=m_2a$

Y en el segundo la fuerza de rozamiento y la tensión:

$T-\mu_k.N_1 = m_1a\\T-\mu_k.m_1g=m_1a$.

a) En una de las ecuaciones despejo la tensión:

$T=m_2g-m_2a$

Y la sustituyo en la otra ecuación:

$m_2g-m_2a-\mu_k.m_1g=m_1a$

Y despejo la aceleración:

$m_2g-\mu_k.m_1g=m_1a+m_2a\\a=g\frac{(m_2-\mu_k.m_1)}{m_1+m_2}$

Esta sería la fórmula de la aceleración del sistema en función de las masas y el coeficiene de rozamiento cinético

B) Ahora reemplazamos en la expresión que acabamos de hallar por los datos del problem tomando 0,23 como coeficiente de rozamiento cinético y pasando todos los datos a unidades MKS:

$a=g\frac{(m_2-\mu_k.m_1)}{m_1+m_2}=10\frac{m}{s^2}\frac{3,9kg-0,23.5,49kg}{5,49kg+3,9kg}= 2,81\frac{m}{s^2}$

C) En estas condiciones, tengo un movimiento uniformemente acelerado que sigue esta ecuación:

$x=x_0+v_0t-\frac{1}{2}at^2$

Como parte del reposo es $v_0=0$ y si tomo el borde de la mesa como referencia queda:

$x=0,769m-\frac{1}{2}.2,81\frac{m}{s^2}t^2 \\0=0,769m-\frac{1}{2}.2,81\frac{m}{s^2}t^2$

Ahora despejo el tiempo buscado:

$t=\sqrt{\frac{0,769}{\frac{1}{2}.2,81\frac{m}{s^2}}}= 0,74s$

Con lo que el bloque 1 tarda 0,74 segundos en llegar al borde de la mesa

D) Para que el sistema quede en reposo planteo las dos ecuaciones del sistema de la polea, considerando que la aceleración es cero:

$T-m_2g=0\\T-\mu_s.m_1g=0$

\\\\T=m_2g\\m_2g-\mu_s.m_1g=0\\m_2g=\mu_s.m_1g[/tex]

Despejo de aquí m_1

$m_2=\mu_sm1\\m_1=\frac{m_2}{\mu_s}=\frac{5,49kg}{0,23}=23,9kg$

Con lo que la masa mínima del cuerpo 1 debe ser al menos 23,9kg para que el cuerpo 2 no caiga.