El siguiente gráfico ilustra la trayectoria de un balon de futbol. La altitud máxima del recorrido del balón respecto al suelo es de 10 cm. Durante su ascenso, ¿A qué distancia horizontal de su punto de partida el balón alcanzó una altura de 6m?
Respuestas
Respuesta:
Durante su ascenso, la distancia horizontal de su punto de partida el balón alcanzó una altura de 6 m es de : x = 7.35 m .
Durante el descenso, la distancia del punto de partida vuelve a estar a esa altura es : x = 32.649 m
Explicación paso a paso:
La trayectoria de un balón de fútbol observada en la figura es lanzamiento inclinado parabólico y conociendo la altura máxima de : hmax = 10 m , se calcula la velocidad vertical inicial, para luego realizar el calculo de las respectivas distancias horizontales, de la siguiente manera :
hmax = 10 m
x=?
hmax = Voy²/2*g
Voy = √(2*10m *9.8 m/seg2)
Voy = 14 m/seg
tmax = Voy/g = 14 m/seg /9.8 m/seg2 = 1.4285 seg
tv = 2*tmax = 2* 1.4285 seg = 2.85714 seg
Rmax= Vox*tv alcance máximo
Vox = Rmax /tv
Vox = 40 m/2.85714 seg
Vox= 14 m/seg
h= Voy *t -g*t²/2
6 = 14t - 9.8*t²/2
4.9t²-14t +6=0
De donde :
t1 = 0.525063 seg ascenso
t2 = 2.332079 seg descenso
La distancia recorrida es:
x1 = Vox*t1 = 14m/seg *0.52063 seg = 7.35 m
x2 = Vox*t2 = 14 m/seg *2.332079 seg = 32.649 m
El balón de fútbol alcanza una altura de 6 m a una distancia, del punto de partida, de 7.35 m y de 32.65 m.
Explicación paso a paso:
Para resolver este problema es fundamental encontrar la ecuación de la parábola.
La ecuación canónica para este tipo de parábola, que abre hacia abajo, viene siendo:
(x - h)² = -4p·(y-k)
El enunciado indica que la altura máxima es de 10 m, para esta altura la distancia es de 20 m. Se saca este dato de la gráfica.
Esto quiere decir que el vértice V(h,k) viene siendo V(20,10). Sustituimos este punto en la ecuación:
(x - 20)² = -4p·(y - 10)
Para encontrar el valor de ''p'' sustituimos otro punto cualquiera, en este caso usaremos el (0,0); entonces:
(0 - 20)² = -4p·(0 - 10)
400 = -4p·(-10)
400 = 40p
p = 10
Finalmente, la ecuación de la parábola es:
(x - 20)² = -4(10)·(y - 10) = (x - 20)² = -40·(y - 10)
Sustituimos la altura de 6 m y obtenemos la distancia horizontal (variable x):
(x - 20)² = -40·(6 - 10)
(x - 20)² = 160
x - 20 = ±12.65
x = ±12.65 + 20
Tenemos dos soluciones:
x₁ = 32.65 m y x₂ = 7.35 m
Por tanto, el balón de fútbol alcanza una altura de 6 m a una distancia, del punto de partida, de 7.35 m y de 32.65 m.
Como la gráfica es una parábola existen dos puntos en donde se cumple esta condición.
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