Question

1. Sean V1= (1,3) y V2= (1,1). Descomponer V1 en dos vectores, un vector "X" paralelo a V2 y un vector "Y" ortogonal a V2.


2. Sean los vectores V1= 3i-2j+4k y V2= 3i+3j-2k
a) Determinar la proyección vectorial de V1 sobre el vector V2.
b) Calcular la componente V1, perpendicular a V2.

Answer 1

Estos son ejercicios de operaciones de vectores. Vamos a resolver:

1) Tengo que es V1 = (1,3), que se puede descomponer como dice el problema como la suma de un vector paralelo a V2 y uno perpendicular a este. Un vector paralelo a V2 es:

$V_{1a} = (k, k)$

Ahora necesito un vector perpendicular para lo que apelo al producto escalar:

$(k,k).V_{1b} = 0\\(k,k).(x1b,y1b) = 0.$

Al mismo tiempo:

$V1 - V_{1b} = (k,k)\\(1,3) - (x1b,y1b) = (k,k).\\1-x1b=k\\3-y1b=k$

Retomamos la expresión del producto escalar:

$k.x1b + k.y1b = 0\\x1b + y1b = 0\\x1b = -y1b$

Ahora volvemos a la expresión de la suma de vectores:

$1-x1b=k\\3+x1b=k\\1-x1b=3+x1b\\1=3+2x1b\\x1b=-1$

Reemplazando en lla expresión anterior:

$y1b = -x1b = 1$

Teníamos que:

$V_{1a} + V_{1b} = (k,k) + (-1,1) = (1,3)\\V_{1a} = (1,3) - (-1,1) = (2,2)$

Resumiendo me queda V1a = (2,2) y V1b = (-1,1)

2) a)Estos son vectores en el espacio x,y,z, empezamos aplicando la ecuación de la proyección de un vector en la dirección de otro:

$P_{v1,v2} = \frac{V1.V2}{||V2||^{2} }.V2\\P_{v1,v2} = \frac{(3,-2,4).(3,3,-2)}{||\sqrt{3^{2} +3^{2}+ (-2)^{2} } ||^{2} }.(3,3,-2)$

Resolviendo:

$P_{v1,v2} = \frac{-5}{22}.(3,3,-2) = (\frac{-15}{22},\frac{-15}{22} ,\frac{5}{11}  )$

b) Para hallar esta componente, debemos recordar que por definición de proyección de un vector en la dirección de otro, el segmento que une a V1 y a su proyección sobre V2, es perpendicular a V2. Ahora el problema se reduce a restar a V1 su proyección sobre V2.

$V_{3} = V_{1} - P_{V1,V2} = (3,-2,4) - (\frac{-15}{22},\frac{-15}{22},\frac{5}{11} ) =  (\frac{81}{22}, -\frac{29}{22},\frac{39}{11}  )$