Question

Graficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la función sea continua.
(Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el respectivo análisis.

f(x)={█(x^2+3a-5 Si x<2@〖2x〗^2 Si x  2)┤

f(x)={█(〖-x〗^2+a Si x<4@√x Si x  4)┤

Answer 1

Para que una función tenga continuidad en un punto deben cumplirse dos condiciones:

• El límite exista en ese punto, los dos límites laterales (es decir el límite para valores del dominio menores que el valor bajo estudio y el límite para valores del dominio mayores que este) deben existir y ser iguales.
• La función debe estar definida en ese punto y ser igual al límite.

En efecto la condición de continuidad para una función es:

$\lim_{x \to x^-_0} f(x)=\lim_{x \to x^+_0} f(x)=f(x)$

Aplicándola a los dos ejercicios veremos que en el primer problema es a=3 y en el segundo es a=18

Vamos con el primer ejercicio.

$y=\left \{ {{x^2+3a-5, x<2} \atop {2x^2,x\geq2 }} \right.$

Al ser ambas funciones polinómicas están definidas en todos los reales de modo que en x=2 existe la imagen para ambas ramas.

$\lim_{n \to 2} 2x^2 = 8$

Tiene que ser:

$\lim_{n \to 2} x^2+3a-5 = 8\\2^2+3a-5=8\\4+3a-5=8\\3a-1=8\\3a=9\\a=3$

La parábola queda:

$y=x^2+4$

Es una parábola con concavidad hacia arriba y con vértice en (0,4), hallando algunos puntos más se puede dibujar, la otra parábola tiene vértice en el origen, también es cóncava hacia arriba y es más pronunciada que la primera al ser su coeficiente cuadrático 2.

Ahora el segundo:

$y=\left \{ {{-x^2+a, x<4} \atop {\sqrt{x},  si x\geq4  }} \right.$

Para valores de x mayores a 4 y también para x=4 la función existe, de modo que:

$\lim_{n \to 4}  \sqrt{x} =2$

Debe ser:

$\lim_{n \to 4} -x^2+a=2\\-4^2+a=2\\-16+a=2\\a=18$

La parábola queda:

$y=-x^2+18$

La función raíz cuadrada es una parábola x^2 "volcada" y la parábola es cóncava hacia abajo, con vértice en (0,18) y raíces en $+/-\sqrt{18}$. Con esto se puede dibujar.