Question

Continuidad
En la construcción de un oleoducto por la situación topográfica, se deben unir tres tuberías cuyo trazado obedece a las siguientes funciones

Calcule los valores de a y b que hacen que los tramos de la tubería sean continuos.

Answer 1

Para que una función sea continua en un punto $x_0$ debe cumplirse que:

$\lim_{x \to x^-_0} f(x)= \lim_{x \to x^+_0} f(x)=f(x)$

Es decir que la función debe estar definida en el punto, y además el límite debe existir y ser igual al valor de la función en ese punto, para que el límite exista los límites laterales (es decir el límites para valores menores que $x_0$ y el límite para valores mayores que $x_0$) deben ser iguales. Los tres tramos al ser polinómicos están definidos en todos los reales, los puntos que tenemos que mirar son los de cambio de ramas. Veamos el primero que es x=-2, ahí tenemos:

$\lim_{x \to -2^-} 2x+a=\lim_{-2^+} 1-x^2\\2(-2)+a=1-2^2\\a-4=-3\\a=1$

Con esto garantizamos la continuidad en el primer punto, ahora el otro punto de cambio, que es x=3, ahí tenemos:

$\lim_{x \to 3^-} 1-x^2=\lim_{x \to 3^+} x+b\\1-3^3=3+b\\-8=3+b\\b=-11$

Con lo que para que la función sea continua los valores de a y b son:

$a=1; b=-11$