Question

las ecuaciones de los lados de un triangulo son x+4y-18=0, 4x-7y-3=0 y 5x-3y+25=0, hallar la ecuacion de la mediana al lado cuya ecuacion es 5x-3y+25=0

Answer 1

Aquí hay que hallar las intersecciones entre las rectas que nos dan los vértices del triángulo, empezamos por los primeros dos lados:

$\left \{ {{x+4y-18=0} \atop {4x-7y-3=0}} \right.$

La primera ecuación la multiplicamos por -4 para eliminar x:

$-4x-16y+72=0\\4x-7y-3=0\\\\-23y+69=0\\y=-\frac{69}{23}=-3$

Ahora eliminamos y multiplicando la primera por 7 y la segunda por 4

$7x+28y-126=0\\16x-28y-12=0\\23x-138=0\\x=6$

Encontramos el primero de los vértices que es (6,-3).

Ahora por el mismo método (también puede ser otro) resolvemos la intersección entre la recta 1 y la recta 3:

$x+4y-18=0\\5x-3y+25=0\\\\-5x-20y+90=0\\5x-3y+25=0\\\\-23y+115=0\\y=-5\\\\3x+12y-54=0\\20x-12y+100=0\\\\23x+46=0\\x=2$

El segundo vértice es (2,-5).

Ahora entre la 2 y la 3

$4x-7y-3=0\\5x-3y+25=0\\\\20x-35y-15=0\\-20x+12y-100=0\\\\-23y-115=0\\\\y=5.\\\\12x-21y-9=0\\-35x+21y-175=0\\\\-23x-184=0\\x=8$

El último vértice es (8,5).

La mediana es la recta que une el vértice con el lado opuesto cortándolo por la mitad. Nos solicitan la mediana del lado cuya ecuación es la 3, sabemos que pasa por (2,-5) y por (8,5). El punto medio entre esos dos puntos es:

$x_{m} = \frac{2+8}{2} = 5\\y_{m} = \frac{-5+5}{2} = 0$

Sabemos que la recta pasa por (5,0) y por el vértice opuesto que es (6, -3), Esos dos puntos nos alcanzan para hallarla.

$y=mx+b\\\\0=5m+b\\-3=6m+b\\\\0=-5m-b\\-3=6m+b\\\\-3=m\\\\0=-30m-6b\\-15=30m+5b\\\\-15=-b$

La recta que buscamos es entonces:

$y=-3x+15\\3x+y-15=0$