Una estudiante se prepara para un examen de una lista de 20 problemas. Ella es capaz de resolver 12 de los veinte problemas si aparecen en el examen y los otros 8 no los podría resolver durante el examen. Para el examen, la profesora selecciona 10 problemas al azar de la lista de 20 problemas. Sea k la variable aleatoria del número de problemas que la estudiante podrá resolver en el examen.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la estudiante sea capaz de resolver los 10 problemas? Es decir, 
.
En este caso obtendría la nota máxima en el examen.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la estudiante sea capaz de resolver al menos 6 problemas? Es decir, 
.
En este caso aprobaría el examen.
c. ¿Cuál es el valor de la mediana, primer y tercer cuartil de la distribución de probabilidad de k?
d. ¿Cuál es el valor esperado de 
y de 
, es decir,
y 
?
Respuestas
Se procede a resolver usando distribución hipergeometrica
Distribución hipergeométrica: consiste en tomar de un grupo de N personas n de ellas, donde en las N personas hay C personas que cumplen con la característica deseadas y se desea saber la probabilidad de que en este grupo tomado "x" personas tengan dicha caracteristica. La ecuación que determina la probabilidad en la hipergeométrica es:
P(X = x) = (comb(C,x)*Comb(N-C,n-x))/Comb(N,n)
El valor esperado de la hipergeometrica es:
E(X) = n*C/N
En este caso: tenemos de un conjunto de 10 preguntas el estudiante se sabe 12 y la profesora toma 10 de ellas, la probabilidad de que acierte 2 o de que acierte 3
N = 20
n = 10
C = 12
Se desea saber la probabilidad de que k = 10, en este ejercicio k = x
- k = 10
Comb(C,k) = Comb(12,10) = 12!/((12-10)!*10!) = 12!/2*10! = 66
Comb(N-C,n-k) = Comb(20-12,10-10) = Comb(8,0) = 8!/((8-0)!*0!) = 8!/8! = 1
Comb(N,n) = Comb(20,10) = 20!/((20-10)!*10!) = 20!/(10!*10!) = 184756
P(k = 10) = (66*1)/184756 = 0.00036
- P(k ≥ 6)
Realizamos los calculos en excel para k = 0,....,6 y los sumamos ( ver imagen adjunta)
P(k ≥ 6) = 0.675041677
E(k) = 10*12/20 = 6
