Question

Problemas Límites y continuidad.
1.a. Límites.
Se tiene un grupo de bacterias que crece siguiendo la ley
y =1.25/(1+0.25e^(-0.4t) )
donde el tiempo t  0 se mide en horas y el peso del cultivo en gramos.

a) Determine el peso del cultivo transcurridos 60 minutos.
b) ¿Cuál será el peso del mismo cuando el número de horas crece indefinidamente?
1.b. Continuidad
En la construcción de una hidroeléctrica el agua desde el embalse se lleva hasta la casa de máquinas a través de túneles y tuberías exteriores, si el trazado de dos tramos de tuberías y el trazado de un túnel están dados por las siguientes funciones:
f(x)={█(x+2a si x<-2@3ax+b si-2≤x≤1@6x-2b si x≥1)┤
Calcule los valores de a y b que hacen que el trazado total sea continuo.

Answer 1

1a) Vamos a pasar en limpio la función a analizar, que describe el peso del cultivo:

$y=\frac{1,25}{1+0,25e^{-0,4t}}$

a) El peso del cultivo al cabo de 60 minutos es el valor de dicha función para t=1 ya que el tiempo está en horas:

$y(1)=\frac{1,25}{1+0,25e^{-0,4.1}} =1,07g$

b) Tenemos que estudiar el comportamiento del cultivo cuando el número de horas crece indefinidamente, esto es, cuando el tiempo tiende a valores cada vez más grandes, para eso hallamos el límite cuando t tiende a infinito:

$\lim_{x \to \infty} \frac{1,25}{1+0,25e^{-0,4t}}=\frac{1,25}{\lim_{x \to \infty}(1+0,25e^{-0,4.t})}=\frac{1,25}{1+0,25e^{-0,4.\infty}}=1,25$

1b) Para que una función tenga continuidad en un punto $x_0$, tiene que cumplir con la siguiente condición:

$\lim_{x \to x^+_0} =f(x) \lim_{x \to x^-_0} f(x) =f(x_0)$

Es decir, ambos límites laterales en ese punto tienen que ser finitos y coincidentes, y además la función tiene que estar definida en ese punto y ser igual al límite. Los límites laterales son aquellos en los que la función se evalúa en un entorno del punto bajo estudio ($x_0$), pero de forma separada cuando la variable independiente toma valores menores que $x_0$ o cuando esta toma valores mayores que $x_0$.

Los tramos de la función al ser polinómicos son son continuos y están definidos para todos los reales, las discontinuidades están en los puntos de cambios de ramas. Siendo ahí donde aplicamos la condición de continuidad:

En x=-2:

Para valores menores que x=-2 la función recorre el primer tramo y el segundo tramo para valores mayores que x=-2, f(-2) está en el segundo tramo:

$\lim_{x \to -2^+} f(x) =\lim_{x \to -2^-} f(x) =f(-2)\\\lim_{x \to -2^+} 3ax+b =\lim_{x \to -2^-} x+2a =3a.(-2)+b\\3a(-2)+b=-2+2a=3a(-2)+b\\-2+2a=b-6a\\8a-b=2$

En x=1:

Para valores menores que x=1 la función recorre el segundo tramo y para valores mayores que x=1 recorre el tercero, f(1) está en el segundo tramo.

$\lim_{x \to 1^+} f(x) =\lim_{x \to 1^-} f(x) =f(1)\\\lim_{x \to 1^+} 6x-2b =\lim_{x \to 1^-} 3ax+b =3a.1+b\\6.1-2b=3a.1+b=3a.1+b\\6-2b=3a+b\\3a+3b=6$

Me queda el siguiente sistema de ecuaciones:

$8a-b=2\\3a+3b=6$

Al resolverlo aplicando la Regla de Cramer queda para la matriz de coeficientes:

$\Delta=det\left[\begin{array}{cc}8&-1\\3&3\end{array}\right] =8.3-(-1).3=27$

Para el determinante de a, reemplazo la columna de los coeficientes de a por los términos independientes:

$\Delta a=det\left[\begin{array}{cc}2&-1\\6&3\end{array}\right] =2.3-(-1).6=12$

Para el determinante de b, reemplazo la columna de los coeficientes de b por los términos independientes:

$\Delta b=det\left[\begin{array}{cc}8&2\\3&6\end{array}\right] =8.6-3.2=42$

Y los valores de a y b son:

$a=\frac{\Delta a}{\Delta} =\frac{12}{27}= \frac{4}{9}\\b=\frac{\Delta b}{\Delta} =\frac{42}{27}= \frac{14}{9}$

Con lo que resumiendo los valores de a y b que hacen continuo el trazado de la tubería son:

$a=\frac{4}{9}; b= \frac{14}{9}$