Question

Una ventana tiene la forma de un rectángulo rematado arriba y abajo por semicírculos, como se muestra en la figura. Se ha de construir con perímetro de 40 pies a) Encuentre una función que modele el área de la ventana en términos de x b) Encuentre las dimensiones de la ventana que deje pasar la máxima cantidad de luz. (Responder sin usar derivadas, derivadas es tema de un curso posterior. Se debe dar respuesta usando conceptos de matemáticas básicas)

Answer 1

El area de la ventana se determina por la formula general A(ventana)= ((40-2b)/2).b-π.s.r, mientras que las dimensiones son a que representa la altura y  sumado el perimetro de la mitad de la elipse.

a) La función que modela el área de ventana es  

(1) A(ventana)=A(rectángulo)-A(elipse)=a.b-π.s.r

Donde, a: altura de rectángulo, b=ancho de rectángulo, s=mitadAlturaElipse, r=mitadAnchoElipse

Perímetro(ventana)=2a+2b=40 implica a=(40-2b)/2, sustituyendo en (1),

A(ventana)= ((40-2b)/2).b-π.s.r, luego, conociendo los valores de b, y las dimensiones de la semi elipse r y s, se puede calcular el área de la misma (ver Figura adjunta).

b) Las dimensiones de la venta de acuerdo a como esta planteada en la figura adjunta queda como,

A=altura de la ventana, y debido a la forma elipsoidal, la longitud de ese extremo es el perímetro de la mitad de una elipse dada por,

$P=2\pi \sqrt{\frac{r^{2}+s^{2}  }{2} }$