Question

LIMITES Y CONTINUIDAD
Se está implementando una campaña para recaudar fondos, la experiencia se sabe que los aportes totales son función de la duración de la campaña. En una ciudad se ha determinado esta función respuesta que expresa el porcentaje de la población R (expresado en fracción decimal) que hará un donativo en función del número de días t de la campaña.
La expresión de esta es R = 0.7{1-e^-0.05t }
a) ¿Qué porcentaje de la población hará un donativo a los 10 días de haberse iniciado la campaña y luego de 20 días?
b) Calcule el porcentaje de la población que habrá contribuido con la institución si la campaña publicitaria continúa por tiempo indefinido

Answer 1

Repasando la expresión es:

$R(t)=0,7(1-e^{-0,05t})$

a) En este punto basta con hallar los valores de la función para esos periodos de tiempo.

$R(10)=0,7(1-e^{-0,05.10})=0,7(1-e^{-0,5})=0,7(1-0,6065)=0,275.\\R(10)=0,7(1-e^{-0,05.20})=0,7(1-e^{-1})=0,7(1-0,3678)=0,443.$

Con lo que tenemos que en 10 días el 27,5% de la población habrá contribuido y en 20 días ese número sube al 44,3%

b) Si la campaña continua indefinidamente tenemos que hallar el valor para valores muy grandes del tiempo:

$\lim_{n \to \infty} R(t)= \lim_{n \to \infty} 0,7(1-e^{-0,05t})=\lim_{n \to \infty} 0,7-0,7\lim_{n \to \infty}e^{-0,05t} = 0,7-0 = 0,7$

Esto indica que la función tiende asintóticamente a 0,7 con lo que después de mucho tiempo el 70% habrá contribuido.