Question

BC =12 BD= 8 exprese AC DE LA FORMA a raiz b

Answer 1

La expresión de la forma a$\sqrt{b}$ del segmento AC es:

AC = $4 \sqrt{3}$

Para llegar a esto, primero consideraremos que el ∡A está dividido en dos ángulos, los cuales llamaremos ∡α y ∡β

También tomamos en cuenta que la suma de los ángulos internos de un triángulo es de 180°

El triángulo ACB, está formado por los ángulos ∡A, ∡C y ∡B y siendo ∡A = 90°, entonces:

∡C + ∡B = 90°

∡B = 90° - ∡C

∡C = 90° -∡B

Consideramos ahora el triángulo ACD, cuyos angulos internos son ∡D, ∡C y ∡α.

El ∡D= 90°

∡C +∡α = 90° ⇒ ∡α = 90° - ∡C

∴ ∡α ≅ ∡B     Los ángulos α y B son congruentes

Consideramos ahora el triángulo ADB, el cual está formado por los ángulos ∡β, ∡D y B, siendo ∡D = 90°, entonces

∡B + ∡β = 90°

∡β = 90°-∡B

∴ ∡β ≅ ∡C  Los ángulos β y C son congruentes

Los dos triángulos interiores son semejantes, lo que significa que los lados homólogos de cada uno son proporcionales, entonces:

$\frac{BC}{AC}  = \frac{AC}{CD}$

$\frac{12}{AC} = \frac{AC}{12-8}\\(AC)*(AC) = (12)*(12-8)\\AC^{2} = 48\\AC = \sqrt{48}$

Si factorizamos el radical nos queda como sigue

$AC = \sqrt{2*2*2*2*3} = \sqrt{2^{4} * 3} = \sqrt{2^{4} } * \sqrt{3}  = 2^{2} \sqrt{3}$

Por lo tanto:

AC = $4 \sqrt{3}$