Question

Buenos Dias. Por favor ayuda con una ecuacion de orden superior homogenea. Gracias!

20y´´´−80y´´−100y´=0

Answer 1

En el caso de una ecuación diferencial homogénea a coeficientes constantes como esta, lo que se hace es proponer como solución la siguiente:

$s(x)=e^{\alpha.t}$

Las derivadas de esta función son:

$s'(x)=\alpha.e^{\alpha.t}\\s''(x)=\alpha^2.e^{\alpha.t}\\s'''(x)=\alpha^3.e^{\alpha.t}$

Ahora las reemplazo en la ecuación diferencial:

$20y'''-80y''-100y'=0\\20\alpha^3.e^{\alpha.t}-80\alpha^2.e^{\alpha.t}-100\alpha.e^{\alpha.t}=0$

Dividiendo en ambos miembros por la exponencial, queda la ecuación auxiliar:

$20\alpha^3-80\alpha^2-100\alpha=0$

Ahora queda hallar las raíces del polinomio:

$\alpha(20\alpha^2-80\alpha-100)=0\\\alpha_1=0$

Resolviendo la ecuación cuadrática para hallar dos raíces más:

$20\alpha^2-80\alpha-100=0\\\alpha^2-4\alpha-5=0\\\alpha_{1,2}=\frac{4\±\sqrt{4^2-4.1.(-5)} }{2.1}=\frac{4\±\sqrt{16+20} }{2}=\frac{4\±6}{2} \\\alpha_2=5\\\alpha_3=-1$

Ahora que tenemos los tres valores de la constante $\alpha$ la solución general se escribe como una combinación lineal de estas soluciones:

$s_1(x)=e^{0.x}=1\\s_2(x)=e^{5x}\\s_3(x)=e^{(-1)x}=e^{-x}$

Y la solución general queda:

$y=C_1+C_2e^{5x}+C_3e^{-x}$  $C_1\epsilon R, C_2 \epsilon R, C_3 \epsilon R$