Question

Una compañía produce bombillos en tres fábricas A, B, C. La fabrica A produce el 40% del número total de bombillos, de los cuales el 2% son defectuosos; la fabrica B produce el 35% del número total de bombillos, de los cuales el 4% son defectuosos; la fabrica C produce el 25% del número total de bombillos, de los cuales el 3% son defectuosos. Se encuentra un bombillo defectuoso en la producción total. Encuentre la probabilidad de que este provenga de: a) La fabrica A. Rta: 0,2712 ó 27,12% b) La fabrica B. Rta: 0,4746 ó 47,46% c) La fabrica C. Rta: 0,2542 ó 25,42% 7) Refiérase al problema anterior. Suponga que se escoge una fábrica aleatoriamente y uno de sus bombillos es seleccionado aleatoriamente. Si el bombillo es defectuoso, encuentre la probabilidad de que este provenga de: a) La fabrica A. Rta: 0,2222 ó 22,22% b) La fabrica B. Rta: 0,4444 ó 44,44% c) La fabrica C. Rta: 0,3333 ó 33,33%

Answer 1

Solucionando el planteamiento tenemos que:

Probabilidad de que un bombillo defectuoso hallado en la producción total provenga de:

a) La fabrica A: 0,2712.

b) La fabrica B: 0,4746

c) La fabrica C: 0,2542

Probabilidad de que un bombillo defectuoso seleccionado aleatoriamente hallado en la producción total (fábrica elegida al azar) provenga de:

a) La fabrica A: 0,2222

b) La fabrica B: 0,4444

c) La fabrica C: 0,3333

◘Desarrollo:

Datos:

Diagrama de árbol:

                                            Defectuosos

Fábrica A → Produce → 0,4 →  0,02

                                            Defectuosos

Fábrica B → Produce → 0,35 →  0,04

                                            Defectuosos

Fábrica C → Produce → 0,25 →  0,03

Primero hallamos la probabilidad de encontrar un bombillo defectuoso:

Aplicamos la Teoría de la probabilidad Total:

P(I)=∑P(A∪Bi)=∑P(Bi)*P(A\Bi)

Sustituyendo tenemos:

P(D)= P(A)*P(D\A)+P(B)*P(D\B)+P(C)*P(D\C)

P(D)= 0,4*0,02+0,35*0,04+0,25*0,03

P(D)= 0,0295

Probabilidad de que un bombillo defectuoso hallado en la producción total provenga de la fabrica A:

Aplicamos el Teorema de Bayes:

$P(Bi\setminus A)=\frac{P(Bi\cap A)}{P(A)}$

Sustituyendo tenemos:

$P(A/D)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}$

$P(A/D)=\frac{0,4*0,02}{0,0295}$

$P(A/D)=0,2712$

Probabilidad de que un bombillo defectuoso hallado en la producción total provenga de la fabrica B:

Sustituyendo tenemos:

$P(B/D)=\frac{P(B\cap D)}{P(D)}$

$P(B/D)=\frac{0,35*0,04}{0,0295}$

$P(B/D)=0,4746$

Probabilidad de que un bombillo defectuoso hallado en la producción total provenga de la fabrica C:

Sustituyendo tenemos:

$P(C/D)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}$

$P(C/D)=\frac{0,25*0,03}{0,0295}$

$P(C/D)=0,2542$

Probabilidad de que un bombillo defectuoso seleccionado aleatoriamente hallado en la producción total (fábrica elegida al azar) provenga de la fábrica A:

Primero hallamos la probabilidad de encontrar un bombillo defectuoso:

P(D) = P(D\A)*P(D\B)*P(D\C)/3

P(D) = 0,02+0,04+0,03/3

P(D) = 0,03

Las probabilidades de producir un bombillos en alguna fábrica es 1/3:

Probabilidad de Fábrica A, B, C= 0,33

Aplicamos el Teorema de Bayes:

$P(Bi\setminus A)=\frac{P(Bi\cap A)}{P(A)}$

Sustituyendo tenemos:

$P(A/D)=\frac{P(A\cap D)}{P(D)}$

$P(A/D)=\frac{0,02*0,33}{0,03}$

$P(A/D)=0,2222$

Probabilidad de que un bombillo defectuoso seleccionado aleatoriamente hallado en la producción total (fábrica elegida al azar) provenga de la fábrica B:

Sustituyendo tenemos:

$P(B/D)=\frac{P(B\cap D)}{P(D)}$

$P(B/D)=\frac{0,04*0,33}{0,03}$

$P(B/D)=0,4444$

Probabilidad de que un bombillo defectuoso seleccionado aleatoriamente hallado en la producción total (fábrica elegida al azar) provenga de la fábrica C:

Sustituyendo tenemos:

$P(C/D)=\frac{P(B\cap D)}{P(D)}$

$P(C/D)=\frac{0,03*0,33}{0,03}$

$P(C/D)=0,3333$