Question

Se desea cercar un terreno rectangular. Se
observa que si la distancia entre las estaca
disminuyera en 3 m, entonces se necesitarian
18 estacas más. Calcule el área de dicho terre
no si su perímetro es 240 m. Considere que las
longitudes del terreno son cantidades enteras
en metros.​

Answer 1

Aquí se comienza planteando las ecuaciones para el rectángulo:

$a=b.h\\p= 2b + 2h$

Ahora planteamos la siguiente ecuación donde n es el número de estacas y d la distancia entre ellas:

$\frac{p}{d} = n\\\frac{p}{d-3} = n+18$

Sustituimos la primera ecuación en la segunda:

$\frac{p}{d-3}=\frac{p}{d}+18\\ dp=(p+18d) (d-3)\\240d = (240+18d)(d-3)\\240d = 240d-720+18d^{2} -54d\\18d^{2} -54d-720=0\\d^{2}-3d-40=0$

No nos queda más que resolver la ecuación cuadrática.

$d=\frac{3+/-\sqrt{3^{2} -4.1.(-40)} }{2} = \frac{3+/-\sqrt{9+160} }{2}$

Una de las raíces es negativa y por ende no es válida:

$d=\frac{3+13}{2} = 8m$

Las longitudes de cada lado deben tener un número entero de distancias entre estacas de modo que en cada esquina haya una de ellas, o sea deben ser múltiplos de 8 y de 5 (ya que si la distancia entre estacas se reduce en 3 metros esta pasa a ser 5 metros), o sea múltiplos de 40. Empezamos tomando a 40 como uno de los lados:

$p = 2b+2h\\240 = 2.40 + 2h = 80+2h\\h=80m.$

Aquí tenemos ambos lados múltiplos de 40.

Luego:

$A = b.h = 40m.80m = 3200m^{2}$

Respuesta: El área del terreno es de 3200 metros cuadrados