Desde la azotea de un edificio de 180 metros de altura se lanza una piedra. El vector de posición de la piedra está dada en todo tiempo, r(t) = ( A + B*t^2 )i + ( C +D*t^3 ) , donde
A, B, C y D son constantes. Suponga que la base del castillo es el origen de coordenadas
y que la aceleración de la piedra a los dos segundos después del lanzamiento es: a = 8i + 10j m/s^2
Determinar las constantes A, B, C y D y la velocidad como función del
tiempo.
Respuestas
Desde la azotea de un edificio de 180 metros de altura se lanza una piedra. Dado el vector de posición de la piedra en función del tiempo, r(t).
Las constantes A, B, C y D son:
A = 0
B = 4
C = 180
D = 5/6
La velocidad en función del tiempo es:
v(t) = 8t i + 5/2t² j m/s
Explicación:
Dada r(t) = ( A + B·t² )i + ( C +D·t³ )j m;
Para t = 0 seg;
r = 180 m, por lo tanto;
180 = ( A )i + ( C)j m
La base del castillo es el origen de coordenadas;
A = 0
C = 180
v(t) = r'(t) = d/dt[( A + B·t² )i + ( C +D·t³ )j]
d/dt( A + B·t² ) = 2B·t
d/dt( C +D·t³ ) = 3D·t²
Sustituir;
v(t) = (2B·t)i + (3D·t²)j m/s
Si a(2) = 8i + 10j m/s² ;
La expresión de la aceleración es;
a(t) = v'(t) = d/dt[(2B·t)i + (3D·t²)j]
d/dt(2B·t) = 2B
d/dt(3D·t²) = 6D·t
Sustituir;
a(t) = (2B)i + (6D·t)j m/s²
Para t = 2 seg;
a = 8i + 10j = (2B)i + (6D·t)j
Igualar términos semejantes;
8 = 2B
Despejar B;
B = 8/2
B = 4
10 = 6D(2)
Despejar D;
D = 10/12
D = 5/6