Question

A continuación, se presentan las ecuaciones de 2 planos. Debe emplearse un producto cruz para verificar si dichos planos son paralelos, y en caso de no serlo, deben establecerse las ecuaciones paramétricas que describan la recta que se forma en la intersección de éstos. 1:5x-7y+3z=15 2:9x+2y+3z=5 Como grupo, todos los estudiantes activos a lo largo de esta unidad, deben apoyar la elaboración de éste ejercicio, bien sea, proponiendo los sistemas que se deben resolver, desarrollando su paso a paso, o verificando y corrigiendo los pasos elaborados por sus compañeros. Emplee Geogebra (o algún otro software similar) para graficar los planos, identificar la recta que forma su intersección y definir las ecuaciones paramétricas de dicha recta.

Answer 1

Para verificar si los planos son paralelos, se emplea el producto vectorial, en el cual se define, siendo A y B dos vectores en el espacio tridimensional:

$||r||=||A||.||B||.sen(\alpha )$

Si son paralelos el resultado es cero. En la forma cartesiana el procedimiento es este:

$(x_{1},y_{1},z_{1})x(x_{2},y_{2},z_{2})=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{array}\right] \\(x_{1},y_{1},z_{1})x(x_{2},y_{2},z_{2})=(y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1})i-(x_{1}z_{2}-z_{2}z_{1})i+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})k$

El resultado es un vector perpendicular a los dos operandos. Procedemos para ver si los planos son paralelos, no tenemos más que hacer el producto vectorial entre los sendos vectores asociados a cada plano:

$(5,-7,3)x(9,2,3)=det\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\5&-7&3\\9&2&3\end{array}\right] \\(5,-7,3)x(9,2,3)=(-7.3-2.3)i-(5.3-9.3)i+(5.2-9.(-7))k=(-27,12,73)$

Los planos no son paralelos por ende existe una recta intersección entre ellos, como todo vector contenido en un plano es siempre perpendicular al vector asociado, el que acabamos de obtener es el vector director de la recta. Ahora esto nos da una familia de rectas con ese vector como director, debemos hallar un punto de la recta intersección de modo de identificarla. Nos queda un sistema:

$5x-7y+3z=15\\9x+2y+3z=5$

Sistema compatible indeterminado cuyo conjunto solucion es la recta buscada, asignamos un valor arbitrario a una de las variables, por ejemplo z=0:

$5x-7y=15\\9x+2y=5$

Ahora lo podemos resolver, por cualquier método, aquí vamos a usar reducción mediante combinaciones lineales entre ecuaciones:

$2Ec_{1}+7Ec_{2}\\10x-14y=30\\63x+14y=35\\10x-14y+63x+14y=65\\73x=65\\x=\frac{73}{65}$

$9Ec_{1}-5Ec_{2}\\45x-63y=135\\45x+10y=25\\45x-63y-45x-10y=110\\-73y=110\\y=-\frac{110}{73}$

Con lo que un punto de la recta es:

$P_{0}=(\frac{73}{65},-\frac{110}{73},0)$

La ecuación vectorial de la recta es:

$r:(x,y,z)=P_{0}+\lambda V\\r:(x,y,z)=(\frac{73}{65},-\frac{110}{73},0)+\lambda (-27,12,73)$

Y para hallar las ecuaciones paramétricas no tengo más que descomponer la ecuación anterior en 3 ecuaciones para cada eje:

$r:(x,y,z)=\left \{ {{x=\frac{73}{65}-27\lambda} \atop {y=-\frac{110}{73}+12\lambda} } \atop {z=73\lambda} \right.$

Y esta sería la recta buscada.